ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
(
i
– 1,
j
)
σ = 0
(
i
+ 1,
j
) (
i
,
j
)
(
i
,
j
) (
i
,
j
+ 1)
(
i
,
j
+ 1) (
i
– 1,
j
+ 1) (
i
+ 1,
j
+ 1
)
а
)
б
)
Рис. 2.14. Различные варианты (
а
,
б
) четырехточечного шаблона
Если
j
i
y
известно, то по этой формуле можно определить
1+j
i
y
во всех узлах
1....,,2,1
1
−= Ni
(на слое
1
+
j
). Так как
при
0
=
j
задано начальное условие
( )
,
0
0
ii
xTy =
то последняя формула позволяет определить от слоя к слою значения
1+j
i
y
во всех внутренних узлах сетки
τ
ω
h
, используя при этом краевые условия. В этом случае полученная разностная схема на-
зывается
явной
.
Если выбрать другой шаблон, то разностная краевая задача примет вид
1
2
1
1
11
1
1
2
+
+
+
++
−
+
ϕ+
+−
=
τ
−
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
h
yyy
yy
.
В этом случае для определения
1+j
i
y
на новом слое
1
+
j
получаем систему алгебраических уравнений:
( )
1
11
1
11
1
0,21 Niyyyy
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
<<τϕ−−=γ+γ+−γ
++
+
++
−
.
Такая схема называется неявной или схемой с опережением.
После того, как разностная схема написана, возникает, прежде всего, вопрос о разрешимости полученной алгебраиче-
ской системы уравнений. Если эта система неразрешима, то такую схему следует признать непригодной.
Пусть разностная задача разрешима. Тогда естественно требовать, чтобы при неограниченном измельчении сетки ре-
шение разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для дифференциального уравнения (схема сходилась).
При этом предполагаем, что разностная задача решается точно, и решение может быть найдено с любым числом знаков.
Практически же все вычисления ведутся с конечным числом знаков и на каждом этапе вычислений допускаются ошибки
округления. Если малые ошибки округления, допускаемые на промежуточных этапах вычислительного процесса, при сгу-
щении сетки приводят к большим искажениям решения, то такую схему называют неустойчивой. Она непригодна для прак-
тики.
Ошибки вычисления можно рассматривать как возмущения начальных данных или правой части уравнения. Отсюда
следует, что от схемы надо требовать, чтобы решение разностной задачи мало менялось при малом изменении входных дан-
ных задачи (правой части краевых и начальных условий) или, иными словами, чтобы решение непрерывно зависело от вход-
ных данных при измельчении сетки. Если это требование выполняется, то такая схема называется
устойчивой
, в противном
случае схема
неустойчива.
Разностные схемы для нелинейных уравнений теплопроводности
(
диффузии
)
.
При написании разностных уравнений
естественно исходить из уравнения баланса, которое содержит интегралы от функций и ее производных:
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
∫ ∫∫ ∫
+−=−
2
1
2
1
2
1
2
1
,,,,,
2112
x
x
t
t
x
x
t
t
dxdttxfdttxWtxWdxtxTtxTc
,
где
(
)
txT ,
–
температура
;
c
–
объемная
теплоемкость
;
(
)
txf ,
–
плотность
источников
тепла
;
( ) ( ) ( )
tx
x
T
txtxW ,,,
∂
∂
λ−=
–
тепловой
поток
;
(
)
Ttx ,,λ
–
коэффициент
теплопроводности
.
Если
существуют
непрерывные
производные
t
T
∂
∂
и
∂
∂
λ
∂
∂
x
T
x
,
то
из
уравнения
баланса
следует
дифференциальное
уравнение
теплопроводности
:
( ) ( )
txf
x
T
tx
xt
T
c ,, +
∂
∂
λ
∂
∂
=
∂
∂
.
Пусть
дана
сетка
(
ihx
i
=
,
τ
=
jt
j
).
Для
каждой
элементарной
ячейки
(
прямоугольника
)
этой
сетки
пишется
уравнение
ба
-
ланса
,
которое
содержит
интегралы
от
функции
и
ее
производных
вдоль
границы
ячейки
.
Для
их
вычисления
необходимо
предположение
о
профиле
функций
.
В
зависимости
от
выбора
локальной
интерполяции
как
по
x
,
так
и
по
t
мы
получим
раз
-
личные
схемы
.
Вопрос
о
выборе
интерполяции
подчинен
требованиям
устойчивости
,
точности
и
простоты
реализации
.
Пример 2.5
.
Рассмотрим
стационарное
уравнение
теплопроводности
( ) ( ) ( )
0,0,10,,, ≥><<−=−
∂
∂
λ
∂
∂
qkxtxfTxq
x
T
tx
x
,
где
(
)
Txq
–
мощность
стоков
тепла
(
при
0
≤
q
–
источников
),
пропорциональная
температуре
(
)
xT
.
Выберем
на
отрезке
10
≤
≤
x
сетку
{
}
1
,0, Niihx
ih
===ω
с
шагом
h
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
