ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
( ) ( ) ( )
,,,,
222
lxlx
lx
utuuz
x
u
utxr
==
=
θ−=
∂
∂
λ
(2.12)
где
(
)
txu ,
– температура (концентрация);
(
)
utx ,,λ
– коэффициент теплопроводности (диффузии);
(
)
utx
с
,,
– объемная теп-
лоемкость;
(
)
utxf ,,
– плотность мощности источников вещества и тепла.
Постановка (2.9) – (2.12) допускает рассмотрение цилиндрических и сферических областей при наличии радиальной
симметрии за счет выбора функций
(
)
(
)
xx νµ ,
(например, при
( ) ( )
xx
x
x =ν=µ ,
1
получаем цилиндрическую область, а при
( ) ( )
2
2
,
1
xx
x
x =ν=µ
– сферическую область).
Представление решения нелинейной краевой задачи (2.9) – (2.12) в аналитической форме возможно лишь в исключи-
тельных случаях. Универсальным методом приближенного решения является метод конечных разностей.
Приступим теперь к построению разностной схемы для краевой задачи (2.9) – (2.12). Пусть
n
и
m
– фиксированные
натуральные числа. Введем на отрезке
[
]
l,0
и
[
]
T,0
сетки
nx∑
и
mt∑
с узлами
TLxxx
mn
=τ<<τ<τ==<<<= ...0,...0
1010
. Эти сетки
×∑=∑ nx
mt
nx
mt∑×
определяют сетку в области
∏
. Положим
mjttnixxh
jjjiii
,1,,,1,
11
=−=τ=−=
−−
. На этой сетке функция
(
)
txu ,
аппроксимируется сеточной функцией
ij
y
, опреде-
лённой в узлах сетки
(
)
ji
tx ,
.
Примем следующие обозначения:
(
)
ijii
ytxCC ,,
1+
=
;
1+
=
j
ii
yy
;
j
ii
yy =
ˆ
;
( ) ( )
[ ]
1111
2
1
,,,,
2
1
±+±+
±
λ+λ=λ
ijiiji
i
ytxytx
;
( )
+
ν=
ννµ=µ
±
±
2
;
1
2
1
ii
i
ii
xx
x
;
(
)
ijii
ytxf ,,
1+
=
ϕ
.
Для
построения
неявной
разностной
схемы
будем
использовать
четырехточечный
шаблон
.
В
результате
получим
неяв
-
ную
разностную
схему
с
точностью
(
)
τ+
2
0 h
:
i
i
ii
ii
i
ii
ii
i
iij
ii
i
h
yy
h
yy
hh
yy
C ϕ+
−
λν−
−
λνµ
+
=
τ
−
−
−−
+
+
++
++
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
11
2
ˆ
;
(2.13)
( ) ( )
0;,1,
00
=== jnixuty
i
; (2.14)
( )
( )( )
;0
,,
ˆ
2
01100100
1
01
2
1
2
1010
1
00
0
11
mj
ytyyz
h
yy
r
yy
C
hr
j
j
≤≤
θ−νµ−
−
λνµ=
ϕ+
τ
−
+
+
(2.15)
( )
( )( )
.,
ˆ
2
122
1
1
2
1
2
12
1
12
njnnnn
n
nn
nn
n
n
j
nn
n
n
ytyyz
h
yy
r
yy
C
hr
+
−
−
−−
+
−
θ−νµ−
−
λνµ=
=
ϕ+
τ
−
(2.16)
Упростим
разностную
схему
(2.13) – (2.16),
предполагая
const,const =τ=h
:
( )
( )
( )
( )
( )
.
11
1
11
2
1
11
1
1
2
1
2
1
++
−
++
−
++
+
+
+
+
ϕ+
−λν−−λν
µ
=
=
τ
−
j
i
jj
i
j
i
jj
i
j
i
i
jj
i
i
yyyyyyy
h
yy
C
ii
i
(2.17)
Далее
,
полагая
,
что
(
)
(
)
jj
yy ϕ=ϕλ=λ ,
,
получим
схему
,
линейную
относительно
1+j
i
y
:
( )
( )
( )
( ) ( )
.
11
1
1
2
1
11
1
2
1
2
1
++
−
+
−
++
+
+
+
ϕ+
−λν−−λν
µ
=
=
τ
−
j
i
j
i
j
i
j
i
jj
i
j
i
i
jj
i
i
yyyyyyy
h
yy
C
i
i
(2.18)
Решение
разностной
краевой
задачи
для
1+j
i
y
находится
методом
прогонки
[5].
Разностная
схема
(2.17)
нелинейна
относительно
1+j
i
y
.
Для
решения
получающейся
системы
нелинейных
уравнений
применяются
итерационные
методы
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
