ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Напишем уравнение баланса тепла на отрезке
2
1
2
1
+−
≤≤
ii
xxx
,
( )
22
1
11
2
1
h
xxxx
iii
i
+=+=
−−
−
:
( ) ( ) ( )
∫ ∫
+
−
+
−
=+−−
+−
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
i
i
i
i
x
x
x
x
ii
dxxfdxxTxqWW
.
Возьмем
простейшую
аппроксимацию
i
TT == const
при
2
1
2
1
+−
≤≤
ii
xxx
:
( ) ( ) ( )
∫∫
+
−
+
−
=≈
2
1
2
1
2
1
2
1
1
,
i
i
i
i
x
x
x
x
iii
dxxq
h
dThddxxTxq
.
Проинтегрируем
равенство
λ
−=
W
dx
dT
на
отрезке
ii
xxx ≤≤
−1
:
∫
−
λ
=−
−
i
i
x
x
ii
dx
W
TT
1
1
.
Полагая
2
1
const
−
==
i
WW
при
ii
xxx ≤≤
−1
,
будем
иметь
:
( )
∫
−
λ
=−
−
−
i
i
x
x
i
ii
x
dx
WTT
1
2
11
или
h
TT
aW
ii
i
i
−
−=
−
−
1
2
1
;
( )
∫
−
λ
=
i
i
x
x
i
x
dx
h
a
1
1
1
.
Отметим
,
что
( )
∫
−
λ
i
i
x
x
x
dx
1
есть
тепловое
сопротивление
отрезка
[
]
ii
xx
,
1−
.
Заменяя
интеграл
по
одной
из
формул
( )
2
1
11
1
−
λ
≈
λ
∫
−
i
x
x
i
i
x
dx
h
,
( )
λ
+
λ
≈
λ
−
∫
−
ii
x
x
i
i
x
dx
h
11
2
11
1
1
,
получим
2
1
−
λ=
i
i
a
,
ii
ii
i
a
λ+λ
λλ
=
−
−
1
1
2
и
т
.
д
.
В
результате
получим
разностную
схему
вида
:
(
)
(
)
iii
iiiiii
yd
h
yya
h
yya
h
ϕ−=−
−
−
−
−++ 111
1
,
где
( )
∫
+
−
=
2
1
2
1
1
i
i
x
x
i
dxxq
h
d
,
( )
∫
+
−
=ϕ
2
1
2
1
1
i
i
x
x
i
dxxf
h
.
Метод
баланса
,
таким
образом
,
позволяет
получать
схемы
,
коэффициенты
которых
во
всех
узлах
сетки
вычисляются
по
одним
и
тем
же
формулам
как
средние
значения
коэффициентов
дифференциального
уравнения
в
окрестности
узла
сетки
.
Все
разностные
схемы
пишутся
одинаково
во
всех
узлах
сетки
и
для
любых
(
)
(
)
(
)
xfxqx ,,λ
.
Такие
схемы
называются
однородными
.
Для
практических
целей
целесообразно
находить
коэффициенты
схемы
ϕ,, da
по
более
простым
формулам
,
используя
значения
fq,,λ
в
отдельных
точках
.
Обычно
используют
шаблоны
из
одной
или
из
двух
точек
,
полагая
,
напри
-
мер
:
iiii
i
i
fqda =ϕ=λ=
−
,,
2
1
,
если
fq,,λ
непрерывны
.
Если
fq,,λ
разрывны
,
то
в
этих
формулах
следует
брать
полусумму
предельных
значений
слева
и
справа
.
Рассмотрим
одномерное
с
начальными
и
граничными
условиями
параболическое
уравнение
в
частных
производных
,
описывающее
процессы
теплопроводности
(2.7)
и
диффузии
(2.8),
и
обсудим
алгоритм
его
решения
.
Пример 2.6.
Запишем
в
общем
виде
одномерное
параболическое
уравнение
с
краевыми
условиями
.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
utxf
x
u
utxx
x
x
t
u
utx
с
,,,,,, +
∂
∂
λν
∂
∂
µ=
∂
∂
, (2.9)
(
)
(
)
xutxu
00
, =
, (2.10)
( ) ( ) ( )
,,,,
0
11
0
1
==
=
θ−=
∂
∂
λ
xlx
x
utuuz
x
u
utxr
(2.11)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
