Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 185 стр.

     Для решения ДУ необходимо знать значение зависимой пере-
менной и/или ее функции для некоторого значения независимой пе-
ременной. Если эти дополнительные условия задаются при одном
значении независимой переменной, то такая задача называется
начальной задачей, задачей с начальными условиями, задачей Коши.
Если же условия задаются при двух или более значениях независимой
переменной, то такая задача называется краевой. В задаче Коши до-
полнительные условия называются начальными, в краевой задаче –
граничными.
     Решение ДУ в современной практике осуществляется много-
численными численными методами. Продуктивность использования
того или иного метода определяется совокупностью различных фак-
торов, однако в любом случае их применение целесообразно лишь
том случае, когда решение ДУ существует и оно единственно.
Условия существования и единственности задаются следующими
теоремами:
     1. Теорема существования. Если в уравнении (14.1) функция f
определена и непрерывна в некоторой ограниченной области плос-
кости (t, y), то для любой точки (х0, у0) этой области существует
решение y(t) начальной задачи (задачи Коши):
                        y΄ = f(t, y), y(x0) = y0,
определенное на некотором интервале, содержащем точку x0.
     2. Теорема существования и единственности. Если в уравне-
нии (14.1) функция f определена и непрерывна в некоторой ограни-
ченной области плоскости (t, y) и в этой области удовлетворяет
условию Липшица по переменной y, т.е.
                   [f(t, y2) – f(t, y1)] < L [y2 – y1],
где L – положительная постоянная, то для точки (х0, у0) рассмат-
риваемой области существует единственное решение y(t) началь-
ной задачи (задачи Коши), определенное на некотором интервале,
содержащем точку х0.
      3. Теорема продолжения. При выполнении теоремы суще-
ствования или теоремы существования и единственности всякое
решение уравнения (14.1) с начальными данными (х0, у0) из рас-
сматриваемой области плоскости (t, y) может быть продолжено
сколь угодно близко к границе области. При этом продолжение во
втором случае будет обязательно единственным, а в первом случае
– не обязательно.
      Условие Липшица аналогично требованию
                              ∂f ∂y ≠ ∞ .

                                  185