Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

187
щем шаге. Они предназначены для решения ДУ первого порядка
(порядок ДУ определяется порядком искомой производной).
К одношаговым относят группу методов Рунге–Кутта (ап-
проксимация решения по аргументу х в них описана ниже):
1. Метод первого порядка (метод Эйлера):
dy / dx = F(x, y)
≈
∆
у /
∆
x = (y
i + 1
– y
i
) / (x
i + 1
– x
i
),
где y
i + 1
– решение уравнения в точке x
i+1
. Полагая, что h = x
i + 1
,
имеем
(y
i + 1
– y
i
) / (x
i + 1
– x
i
) = (y
i + 1
– y
i
) / h = F(x
i
, y
i
)
или
y
i + 1
≈
y
i
+ hF(x
i
, y
i
).
Используя знание начальных значений (х
0
, у
0
), можно опреде-
лить следующее приближение, продолжая эту цепочку до оконча-
ния процесса решения.
2. Метод второго порядка:
y
i+1
≈
y
i
+ hF(x
i
+ h / 2, y΄
i+1
),
y΄
i+1
= y
i
+ h / 2F(x
i
, y
i
).
3. Метод третьего порядка:
y
i + 1
≈
y
i
+ 1 / 6(k
1
+ 4k
2
+ k
3
),
k
1
= hF(x
i
, y
i
),
k
2
= hF(x
i
+ h / 2, y
i
+ k
1
/ 2),
k
3
= hF(x
i
+ h, y
i
+ 2k
2
– k
1
).
4. Метод четвертого порядка:
y
i + 1
≈
y
i
+ 1 / 6(k
1
+ 2k
2
+ 2k
3
+ k
4
),
k
1
= hF(x
i
, y
i
),
k
2
= hF(x
i
+ h / 2, y
i
+ k
1
/ 2),
k
3
= hF(x
i
+ h / 2, y
i
+ k
2
/ 2),
k
4
= hF(x
i
+ h, y
i
+ k
3
).
В основе всех одношаговых методов лежит разложение функ-
ции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг
h аргумента x в степени до k включительно. Целое число k называ-
ется порядком метода. Погрешность на шаге расчета имеет порядок
k + 1. 
щем шаге. Они предназначены для решения ДУ первого порядка
(порядок ДУ определяется порядком искомой производной).
     К одношаговым относят группу методов Рунге–Кутта (ап-
проксимация решения по аргументу х в них описана ниже):
     1. Метод первого порядка (метод Эйлера):
           dy / dx = F(x, y) ≈ ∆ у / ∆ x = (yi + 1 – yi) / (xi + 1 – xi),
где yi + 1 – решение уравнения в точке xi+1. Полагая, что h = xi + 1, имеем
              (yi + 1 – yi) / (xi + 1 – xi) = (yi + 1 – yi) / h = F(xi, yi)
или
                              yi + 1 ≈ yi + hF(xi, yi).
     Используя знание начальных значений (х0, у0), можно опреде-
лить следующее приближение, продолжая эту цепочку до оконча-
ния процесса решения.
     2. Метод второго порядка:
                         yi+1 ≈ yi + hF(xi+ h / 2, y΄i+1),
                            y΄i+1 = yi + h / 2F(xi, yi).
      3. Метод третьего порядка:
                        yi + 1 ≈ yi + 1 / 6(k1 + 4k2 + k3),
                                   k1 = hF(xi, yi),
                         k2 = hF(xi + h / 2, yi + k1 / 2),
                         k3 = hF(xi + h, yi + 2k2 – k1).
      4. Метод четвертого порядка:
                    yi + 1 ≈ yi + 1 / 6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4),
                                   k1 = hF(xi, yi),
                         k2 = hF(xi + h / 2, yi + k1 / 2),
                         k3 = hF(xi + h / 2, yi + k2 / 2),
                             k4 = hF(xi + h, yi + k3).
      В основе всех одношаговых методов лежит разложение функ-
ции в ряд Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг
h аргумента x в степени до k включительно. Целое число k называ-
ется порядком метода. Погрешность на шаге расчета имеет порядок
k + 1.

                                         187

Страницы