Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 186 стр.

      Точка, в которой это условие не выполняется, называется особой
точкой, а соответствующие ей решения – особыми решениями уравне-
ния (1).
      Для отыскания особых решений уравнения (14.1) следует:
      1) найти множество точек, где частная производная ∂f ∂y об-
ращается в бесконечность;
      2) если это множество точек образует одну или несколько кри-
вых, проверить, являются ли они решением уравнения (14.1);
      3) если это интегральные кривые (решения уравнения), прове-
рить, нарушаются ли в каждой их точке свойства единственности.
      Особыми, как правило, являются точки, соответствующие у = 0.
В них дальнейшее решение исходного уравнения может раздваи-
ваться.
      При решении практических задач проверка условий существо-
вания и единственности решения проводится не только на основе
рассмотренных теорем математики (такую проверку не всегда пред-
ставляется возможным провести из-за сложности исходной модели
и дополнительных условий моделирования), но и исходя из усмот-
рения физической природы исследуемого процесса.
      Одной из распространенных постановок задач численного
анализа является задача Коши. Она формулируется следующим об-
разом:
      Дано дифференциальное уравнение y΄ = f (x, y) и начальные
условия у(х0) = у0. Требуется найти функцию у(х), удовлетворяющую
как указанному уравнению, так и начальным условиям.
      Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя
сначала значения производной, а затем давая малые приращения ар-
гумента (например, времени t) и переходя к новой точке x1 = x + h
(h – шаг изменения аргумента). Положение новой точки определяют
по наклону кривой, вычисленному с помощью ДУ. Таким образом,
график численного решения представляет собой последователь-
ность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппроксими-
руется истинная кривая y = f(x).
      В практических приложениях используют одношаговые и
многошаговые методы решения подобных задач.



          14.2 Одношаговые численные методы
     Одношаговые численные методы для нахождения следующей
точки решения используют информацию лишь об одном предыду-

                                186