Моделирование технических систем. Дьячков Ю.А - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

198
Условно выделяют три класса методов решения краевых за-
дач: 1) методы пристрелки; 2) конечно-разностные методы (КРМ);
3) вариационные методы. Наиболее распространенными являются
КРМ. Их достоинство заключается в том, что они позволяют свести
решение краевой задачи к решению системы алгебраических урав-
нений. При этом процедура решения сводится к замене производной
соответствующей конечно-разностной аппроксимацией.
Решение краевой задачи y΄΄ = f(x, y, y΄) при y(a) = A и y(b) = B
на интервале изменения аргумента [a, b] можно разделить на n
равных частей:
x
i
– x
0
+ ih, i = 1, … , n,
x
0
= a, x
n
= b, h = (b–a) / n.
В точках x
i
получают решения y
i
. Зная координаты узловых
точек и используя КР-выражения для производной, можно предста-
вить ДУ в виде КР-уравнения. Примеры такой замены:
y΄(x
i
) = (y
i + 1
– y
i–1
) / 2 / h,
y΄(x
i
) = (y
i + 1
– 2y
i
+ y
i–1
) / h
2
.
Если записать разностное уравнение для каждой узловой точ-
ки при двух краевых условиях, то задача сводится к системе n – 1
алгебраических уравнений с n – 1 неизвестными.
Для построения разностных уравнений используют от двух до
пяти точек. Кроме того, в зависимости от заданных условий, исход-
ной информации и удобства вычислений могут использоваться пра-
вые, левые и центральные разности. Применяя правые разности, ис-
пользуют информацию о точках, расположенных справа от исход-
ной. Соответственно, применяют и остальные схемы аппроксима-
ции. Пример КР-аппроксимации производных до второго порядка
по трем точкам приведен в табл. 14.2.
Таблица 14.2
Аппроксимация производных конечными разностями
Произ-
водная
Левая Центральная Правая
y΄
0
(3y
0
– 4y
–1
+ y
–2
) / 2 /
/ h + (h2y΄΄΄ / 3)
(y
1
– y
–1
) / 2 / h –
– (y΄΄΄h
2
/ 6)
(–y
2
+ 4y
1
– 3y
0
) / 2 /
/ h + (y΄΄΄h
2
/ 3)
y΄΄
0
(y
0
– 2y
–1
+ y
–2
) +
+ (hy΄΄΄0)
(y
1
– 2y
0
+ y
–1
) / h
2
–
– (y
IV
h
2
/ 12)
(y
2
– 2y
1
+ y
0
) /
/ h
2
– (hy΄΄΄)
Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение
Y΄΄ = 2x + 3y 
     Условно выделяют три класса методов решения краевых за-
дач: 1) методы пристрелки; 2) конечно-разностные методы (КРМ);
3) вариационные методы. Наиболее распространенными являются
КРМ. Их достоинство заключается в том, что они позволяют свести
решение краевой задачи к решению системы алгебраических урав-
нений. При этом процедура решения сводится к замене производной
соответствующей конечно-разностной аппроксимацией.
     Решение краевой задачи y΄΄ = f(x, y, y΄) при y(a) = A и y(b) = B
на интервале изменения аргумента [a, b] можно разделить на n
равных частей:
                              xi – x0 + ih, i = 1, … , n,
                            x0 = a, xn = b, h = (b–a) / n.
     В точках xi получают решения yi. Зная координаты узловых
точек и используя КР-выражения для производной, можно предста-
вить ДУ в виде КР-уравнения. Примеры такой замены:
                            y΄(xi) = (yi + 1 – yi–1) / 2 / h,
                          y΄(xi) = (yi + 1 – 2yi + yi–1) / h2.
     Если записать разностное уравнение для каждой узловой точ-
ки при двух краевых условиях, то задача сводится к системе n – 1
алгебраических уравнений с n – 1 неизвестными.
     Для построения разностных уравнений используют от двух до
пяти точек. Кроме того, в зависимости от заданных условий, исход-
ной информации и удобства вычислений могут использоваться пра-
вые, левые и центральные разности. Применяя правые разности, ис-
пользуют информацию о точках, расположенных справа от исход-
ной. Соответственно, применяют и остальные схемы аппроксима-
ции. Пример КР-аппроксимации производных до второго порядка
по трем точкам приведен в табл. 14.2.
                                                    Таблица 14.2
           Аппроксимация производных конечными разностями
  Произ-
                      Левая                Центральная                   Правая
  водная
    y΄0       (3y0 – 4y–1 + y–2) / 2 /     (y1 – y–1) / 2 / h –    (–y2 + 4y1 – 3y0) / 2 /
                / h + (h2y΄΄΄ / 3)            – (y΄΄΄h2 / 6)         / h + (y΄΄΄h2 / 3)
    y΄΄0        (y0 – 2y–1 + y–2) +      (y1 – 2y0 + y–1) / h2 –      (y2 – 2y1 + y0) /
                    + (hy΄΄΄0)               – (yIVh2 / 12)            / h2 – (hy΄΄΄)

     Пример. Требуется решить дифференциальное уравнение
                                     Y΄΄ = 2x + 3y

                                          198

Страницы