Прикладная теория оптимизации. Дьячков Ю.А. - 9 стр.

численными методами. Продуктивность использования того или иного
метода определяется совокупностью различных факторов, однако, в лю-
бом случае их применение целесообразно лишь том случае, когда решение
ДУ существует и оно единственно.
В практических приложениях используют одношаговые и многошаговые
методы решения подобных задач.
Одношаговые численные методы для нахождения следующей точки ре-
шения используют информацию лишь об одном предыдущем шаге. Они
предназначены для решения ДУ первого порядка (порядок ДУ определя-
ется порядком искомой производной). К одношаговым относят группу ме-
тодов Рунге-Кутты, в которых аппроксимация решения по аргументу х
производится следующим образом.

Метод первого порядка (метод Эйлера):
dy/dx=Fx,y) у/ x=yi+1-yi)/xi+1-xi),
где yi+1 - решение уравнения в точке xi+1. Полагая h = xi+1 имеем
(yi+1-yi)/(xi+1-xi)=(yi+1-yi)/ h = F(xi,yi)
или
yi+1 yi + h * F(xi,yi).

Используя знание начальных значений (х0, у0), можно определить сле-
дующее приближение, продолжая эту цепочку до окончания процесса ре-
шения.
 Метод второго порядка:
 yi+1 = yi + h * F(xi+h/2, y’i+1), Метод четвертого порядка:
 y’i+1 = yi + h/2 * F(xi,yi).      yi+1 yi +1/6(k1+2k2+2k3+k4),
                                   k1 = hF(xi, yi),
 Метод третьего порядка:           k2 = hF(xi+h/2, yi+k1/2),
 yi+1 yi +1/6(k1+4k2+k3),          k3 = hF(xi+h/2, yi+k2/2),
 k1 = hF(xi, yi),                  k4 = hF(xi+h, yi+k3).
 k2 = hF(xi+h/2, yi+k1/2),
 k3 = hF(xi+h, yi+2k2-k1).

В основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд
Тейлора, в котором сохраняются члены, содержащие шаг h аргумента x в
степени до k включительно. Целое число k называется порядком метода.
Погрешность на шаге расчета имеет порядок k+1.
Методы второго, третьего и четвертого порядка требуют на каждом шаге
изменения аргумента соответственно двух, трех и четырех вычислений
функции.
Характеристика методов Рунге-Кутты
   • Методы используют для своей реализации информацию только о
      текущей точке и не используют информацию о предыдущих точках
      расчетов. Это свойство обеспечивает их применение для начала
      решения уравнений.
   • По той же причине приходится многократно вычислять функцию
      f(х,y) и затрачивать на это много машинного времени.
   • Используя информацию только об очередной точке решения, эти
      методы позволяют легко менять величину шага вычислений h.
      Приближенная рекомендация основана на правиле Коллатца: если
      отношение (k2 - k3)/(k1 - k2) становится большим нескольких со-
      тых, то шаг интегрирования необходимо уменьшить.
   • Недостатком методов является отсутствие возможности явной
      оценки ошибки ограничения.
   • Результаты решения во многом зависят от величины шага интегри-