ВУЗ:
Составители:
22
Это требование означает, в частности, что каждая отрасль способна про-
извести любой объём своей продукции при условии, что ей будут обеспечены
ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это, конечно, не так, так
как производственные возможности всякой отрасли ограничены имеющимся
объёмом трудовых ресурсов и основных фондов.
Есть много общего в рассматриваемой ситуации с задачей опти-
мального планирования или оптимального использования ресурсов.
В частности, пусть
)(
i
xX =
– вектор объёмов производства в отраслях,
тогда АХ – потребляемые объёмы продукции этих отраслей. Таким образом,
вне производственной сферы на потребление остаётся только Х – АХ.
В дальнейшем, исходя из экономического смысла, матрицу, задающую
модель Леонтьева, считаем неотрицательной.
3.1.2. Продуктивность модели Леонтьева
Пусть потребность непроизводственной сферы выражается, вектором С.
Существует ли вектор производства, обеспечивающий это, т.е. удовлетво-
ряющий уравнению С = X – АХ. Разумеется, учитывая экономическую
интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным.
Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение
CAXX
=
−
имеет неотрицательное решение для любого C > 0, т.е. матрица
A позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.
Т е о р е м а . Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и
только если существует неотрицательная матрица, обратная к (Е – А).
В самом деле, пусть матрица (E – A)
–1
неотрицательна, тогда
CAEX
1
)(
−
−=
и, поскольку С > 0, то и Х > 0. Доказательство обратного
(т.е. если модель продуктивна, то матрица (Е – А) имеет обратную неотрица-
тельную матрицу) опустим.
Только что указанный критерий продуктивности модели Леонтьева не
имеет хорошей экономической интерпретации. Рассмотрим ещё один кри-
терий продуктивности.
Пусть модель Леонтьева задана матрицей А размерами n × п. Обозна-
чим через N множество {1, ..., n}. Пусть .NS
⊆
Говорят, что подмножество
S изолировано, если 0=
ij
a , всякий раз, когда
SNiSj /,
∈
∈
. Понятие изо-
лированности подмножества S допускает прозрачную экономическую ин-
терпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют това-
ры, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S.
Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных
подмножеств, кроме N и .0
/
Понятие неразложимости также имеет про-
зрачный экономический смысл; любая отрасль использует, хотя бы косвен-
но, продукцию всех отраслей. Ведь если 0≠
ij
a , то j-я отрасль непосредст-
венно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже 0=
ij
a , т.е. j-я отрасль
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
