ВУЗ:
Составители:
24
Можно доказать следующее утверждение: модель Леонтьева с матри-
цей А продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число
А
λ
< 1, которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собст-
венных чисел матрицы.
Если матрица имеет такое число
,
А
λ
то можно доказать, что
0lim =
∞→
n
n
A и формула (1) верна.
Задача 3.1. Для экономики, описываемой моделью Леонтьева с мат-
рицей
=
2/13/1
4/12/1
A
, найти объём производства, обеспечивающий вектор
конечного непроизводственного потребления
=
2
3
C
.
Экономика, представленная данной матрицей, является продуктив-
ной, так как сумма элементов каждой строки матрицы не превышает еди-
ницы. Более того, является в обоих случаях меньше единицы. Поэтому
можно найти неотрицательный вектор производства X.
Для его нахождения следует найти матицу
1
)(
−
− AE
. Воспользуемся
для этого методом миноров.
→
→
−
−
→
−
−
−−→−→−→−
32
2/33
2/13/1
4/12/1
2/14/1
3/12/1
2/13/1
4/12/1
)det(/)()()()(
,,
AEAEAEAEAE
ADTADTT
.ибез)det()1()(
,
jiAEAE
TjiADT
ij
−−=−
+
6/112/14/1)det(
=
−
=
−
AE
.
=
⋅
=−=
−
12
12
2
3
32
2/33
)(
1
CAEX .
Задача 3.2. Для матрицы
=
3/16/1
3/12/1
A найти собственные числа и
проверить условие продуктивности.
Собственные числа матрицы
λ
находятся из следующего уравнения:
0)( =λ−→λ=
YEAYAY
, где Y – собственный вектор матрицы.
=λ−+
=+λ−
.0)3/1(6/1
,03/1)2/1(
21
21
yy
yy
Получившаяся однородная система линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ) имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю:
018/1)3/1)(2/1(
=
−
λ
−
λ
−
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- …
- следующая ›
- последняя »
