Физика. Часть 3. Колебания и волны. Волновая оптика. Дымченко Н.П - 22 стр.

 изменение амплитуды при сложении колебаний с близкими частотами называ-
 ется биениями.
      Найдем результирующее смещение суммарного колебания:
            =+=++∆=⋅++∆
           xxxAtAtAtt
               12        ωωωωωω
                      coscos()(coscos())                                     .
         Воспользуемся тригонометрической формулой суммы двух косинусов
                       αβαβ
                         +−
    αβ+=⋅
 coscos2coscos                          , получим:
                         22
                                                      ∆∆
                                                       ωω
              =⋅++∆=⋅+
             xAttAtt    ωωωω
                    (coscos())2cos()cos()                              .
                                                       22
                                           ∆ω
         В аргументе второго косинуса величина намного меньше ω, поэтому
                                            2
 ею можно пренебречь. Выражение для суммарного колебания примет вид:
                                         ∆ω
                               =⋅2cos()cos()
                              xAtt                    ω .                  (1.41)
                                          2
      Как видно из формулы (1.41), результирующее колебание не является гар-
 моническим, а представляет собой произведение двух колебаний. Однако при
 условии малости разности частот его можно рассматривать как гармоническое с
 частотой ω , с медленно меняющейся амплитудой:
                                             ∆ω
                                   At⋅
                                  2cos()          .                    (1.42)
                                              2
         Так как под амплитудой понимается максимальное смещение от положе-
     x                                ния равновесия, то необходимо формулу
                                      (1.42) брать по модулю. Модуль выраже-
 A
                                      ния (1.42) будет изменяться в 2 раза
                                      быстрее, чем сама функция. Следова-
                                  t тельно, частота биений равна разности
                                      складываемых частот. Характер зависи-
                                      мости (1.41)     изображен на рис.1.9.
−A
                                      Штриховой линией показана изменяю-
                                      щаяся амплитуда.
 Рис.1.9. Биения
       Результат сложения двух гармонических колебаний с близкими часто-
 тами можно качественно пояснить с помощью векторной диаграммы. Оба
 колебания на диаграмме изобразятся векторами, только теперь они вращаются
 с различными угловыми скоростями. Так как второе колебание имеет большую
 частоту, то и вектор, изображающий данное колебание, будет иметь большую
 угловую скорость. Относительно первого вектора второй вектор будет вра-

                                        22