Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 18 стр.

Е. Ю. Ечкина           Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




  3. Задача Дирихле для прямоугольника.
                            ∂ 2u ∂ 2u
                                +     = 0, 0 < x < a , 0 < y < b,
                            ∂x 2 ∂y 2
                            u x =0 = f 0 ( y ), u x =a = f a ( y ),     u y =0 = ϕ 0 ( x ), u y =a = ϕ b ( x ).


Примеры решения типовых задач
    Привести к каноническому виду уравнение
                                              ∂ 2u      ∂ 2u      ∂ 2u ∂u      ∂u
                                                   − 6       + 10      +    − 3 = 0.
                                              ∂x 2
                                                       ∂x∂y       ∂y 2
                                                                         ∂x    ∂y

    Решение. Будем рассматривать уравнение общего вида
                                       ∂ 2u        ∂ 2u      ∂ 2u      ∂u      ∂u
                                  a1        + a 2       + a3      + a4    + a5    + a6u + a7 = 0.
                                       ∂x 2
                                                  ∂x∂y       ∂y 2
                                                                       ∂x      ∂y

    Зададим коэффициенты нашего уравнения
    > a:=1, -6, 10, 1, -3, 0, 0;
                                                         a:=1,-6,10,1,-3,0,0
    и само уравнение
    > equ:=a[l]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]* diff(u(x,y),x,y)+a[3]* diff(u(x,y),y,y)+ a[4]*
    diff(u(x,y),x)+ a[5]* diff(u(x,y), y)+ a[6]*u+a[7]=;
          ⎛ ∂2          ⎞ ⎛ ∂2             ⎞      ⎛ ∂2          ⎞ ⎛ ∂           ⎞ ⎛ ∂             ⎞
    equ:= ⎜ 2 u( x, y ) ⎟ − 6 ⎜  u( x, y ) ⎟ + 10 ⎜ 2 u( x, y ) ⎟ + ⎜ u( x, y ) ⎟ − 3 ⎜ u( x, y ) ⎟ = 0
          ⎝ ∂x          ⎠ ⎝ ∂x∂y           ⎠      ⎝ ∂y          ⎠ ⎝ ∂x          ⎠ ⎝ ∂y            ⎠
    Вычислим матрицу старших коэффициентов и ее определитель
    > eq:=lhs(equ);
                     ⎛ ∂2              ⎞   ⎛ ∂2               ⎞       ⎛ ∂2           ⎞ ⎛ ∂               ⎞        ⎛ ∂         ⎞
               eq:= ⎜ 2 u( x, y ) ⎟ − 6 ⎜  u( x, y ) ⎟ + 10 ⎜ 2 u( x, y ) ⎟ + ⎜ u( x, y ) ⎟ − 3 ⎜ u( x, y ) ⎟
                    ⎝ ∂x          ⎠ ⎝ ∂x∂y           ⎠      ⎝ ∂y          ⎠ ⎝ ∂x          ⎠ ⎝ ∂y            ⎠
    >A:=linalq[matrix](2,2,[coeff(eq, diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq, diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,
    diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq, diff(u(x,y),y,y))]);
    >Delta:=simplify(linalg[det](A));
                                                                  ⎡ 1 −3⎤
                                                             A := ⎢       ⎥
                                                                  ⎣ −3 10 ⎦
                                                             ∆ := 1
    Так как определитель матрицы старших коэффициентов больше нуля, то тип
    уравнения - эллиптический.
    Формулируем характеристическое уравнение и решаем его


   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова                       http://ani.cs.msu.su   18