Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 17 стр.

Е. Ю. Ечкина        Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




                                       ∂ 2T ∂T                       kt
                                            −    = 0, 0 < x < a, τ =    ,τ > 0,
                                       ∂x 2
                                              ∂τ                     cρ
                                       T   x =0
                                                  = T0 , T   x =a
                                                                    = 0,       T τ =0 = ϕ ( x ),

ϕ ( x ) - заданное начальное распределение температуры.
Будем искать решение задачи в виде T = T1 ( x ) + T2 ( x,τ ) .
Функцию T1 ( x ) выбираем так, чтобы она удовлетворяла уравнению и граничным
условиям. Тогда будем иметь задачу для нахождения T1 ( x ) :

∂ 2T1                                                                                    ⎛    x⎞
      = 0, T1 x =0 = T0 , T1 x =a = 0. Решение этой задачи будет иметь вид T1 ( x ) = T0 ⎜ 1 − ⎟ ,
∂x  2
                                                                                         ⎝ a⎠
которое описывает стационарное распределение температуры.
Тогда для определения функции T2 ( x ) уже имеем следующую однородную задачу:

                               ∂ 2T2 ∂T
                                      −      = 0,
                                ∂x 2 ∂τ
                               T2 x =0 = T0 , T2 x =a = 0,                 T τ =0 = ϕ ( x ) − T1 ( x ).

Здесь ϕ ( x ) − T1 ( x ) = ϕ ( x ) − T0 ⎛⎜ 1 − ⎞⎟ - заданная функция. Поставленная задача может быть
                                              x
                                   ⎝          a⎠

решена методом Фурье разделения переменных.

Типовые задачи.
  1. Задача о нагревании бесконечного цилиндра.
                                  1 ∂ ⎛ ∂T          ⎞ ∂T       Q
                                       ⎜r           ⎟−     = − , 0 < r < a,τ > 0,
                                  r ∂r ⎝ ∂r         ⎠ ∂τ        k
                                  T    r →0
                                              = O (1), T r =a = 0, T τ =0 = ϕ ( r ),

  ϕ ( r ) - заданное начальное распределение температуры.
  2. Задача о вынужденных колебаниях круглой мембраны.
                       1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u   q( r )                                  T
                            ⎜r ⎟ − 2 2 = −        sin( wt ), 0 < r < a,τ > 0, v 2 = 0
                       r ∂r ⎝ ∂r ⎠ v ∂t     T0                                      ρ
                                                                                                ∂u
                       u r →0 = ограничена, u r =a = 0,                     u t =0 = ϕ ( r ),           = w( r ),
                                                                                                ∂t t =0

  где T0 - натяжение, ρ - плотность мембраны, ϕ ( r ), ψ ( r ) заданные функции (начальное
  смещение и скорость).




   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова                         http://ani.cs.msu.su   17