ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
В декартовых координатах градиентом функции называется вектор с
координатами
(, ,)uxyz
,,
uuu
x
yz
⎧⎫
∂∂∂
⎨⎬
∂∂∂
⎩⎭
() .
uu
grad u i j k
u
x
yz
∂
∂∂
=++
∂
∂∂
r
r
r
Производная по направлению
[]
( ) cos( , ) cos( , ) cos( , )
xy
uu u u
grad u l e l e l e
lx y z
∂∂ ∂ ∂
== + +
∂∂ ∂ ∂
z
r
rr
r
rr
здесь
co
, ,
co
- направляющие косинусы, то есть косинусы углов,
составляемых направление l с положительными направлениями координатных осей.
s( , )
x
le
r
r
cos( , )
y
le
r
r
s( , )
z
le
r
r
Оператор дивергенции векторной функции
A
r
,
y
xz
A
A
A
divA
x
yz
∂
∂
∂
=++
∂
∂∂
r
Здесь предполагается
(,,) .
xyz x y z
AA A A iA jA kA=+ +
r
r
r
r
Оператор ротор вектора
A
r
.
xyz
ijk
rot A
x
yz
A
AA
∂
∂∂
=
∂
∂∂
r
r
r
r
Оператором Лапласа называют оператор
div grad
=
∆
. В декартовой системе координат
22
22
2
2
x
yz
∂∂∂
∆= + +
∂∂∂
.
Если применить его к скалярной функции u, то
222
22
uuu
u
2
x
yz
∂
∂∂
∆= + +
∂
∂∂
.
Оператором Гамильтона (символическим вектором набла) называют векторный оператор
.ijk
x
yz
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
r
rr
Применим его к скаляру u, получаем
().
uuu
u i j k grad u
xyz
∂
∂∂
∇= + + =
∂∂∂
r
r
r
Скалярное произведение векторов
∇
и
A
r
равно
.
y
xz
A
AA
A
ijkdi
xyz
∂
∂∂
∇⋅ = + + =
∂∂∂
r
rr
rr
vA
Векторное произведение векторов
∇
и
A
r
равно
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 3
Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
В декартовых координатах градиентом функции u ( x, y , z ) называется вектор с
⎧ ∂u ∂u ∂u ⎫
координатами ⎨ , , ⎬
⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭
r ∂u r ∂u r ∂u
grad (u ) = i + j +k .
∂x ∂y ∂z
Производная по направлению
∂u ∂u r r ∂u r r ∂u r r
[ grad (u)] = = cos(l , ex ) + cos(l , e y ) + cos(l , ez )
∂l ∂x ∂y ∂z
r r r r r r
здесь cos(l , ex ) , cos(l , e y ) , cos(l , ez ) - направляющие косинусы, то есть косинусы углов,
составляемых направление l с положительными направлениями координатных осей.
r
Оператор дивергенции векторной функции A
r ∂A ∂A ∂A
divA = x + y + z ,
∂x ∂y ∂z
r r r r
Здесь предполагается A( Ax , Ay , Az ) = iAx + jAy + kAz .
r
Оператор ротор вектора A
r r r
i j k
r ∂ ∂ ∂
rot A = .
∂x ∂y ∂z
Ax Ay Az
Оператором Лапласа называют оператор div grad = ∆ . В декартовой системе координат
∂2 ∂2 ∂2
∆= + + .
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
Если применить его к скалярной функции u, то ∆u = 2 + 2 + 2 .
∂x ∂y ∂z
Оператором Гамильтона (символическим вектором набла) называют векторный оператор
r ∂ r ∂ r ∂
∇=i +j +k .
∂x ∂y ∂z
r ∂u r ∂u r ∂u
Применим его к скаляру u, получаем ∇u = i +j +k = grad (u ).
∂x ∂y ∂z
r
Скалярное произведение векторов ∇ и A равно
r r ∂A r ∂A r ∂A r
∇ ⋅ A = i x + j y + k z = divA.
∂x ∂y ∂z
r
Векторное произведение векторов ∇ и A равно
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 3
