Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 5 стр.

Е. Ю. Ечкина        Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




Цилиндрические координаты. Координатные поверхности: круговые цилиндры с осью
вращения Оz, плоскости, перпендикулярные оси Оz, и полуплоскости, проходящие через
Oz.
Цилиндрические координаты r, ϕ , z связаны с прямоугольными координатами x, y , z
соотношениями
x = r cos(ϕ ), y = r sin(ϕ ), z = z.

                               1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u ∂ 2u
Оператор Лапласа ∆u =               ⎜r ⎟ +         +     .
                               r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
Сферические координаты. Координатные поверхности: сферы с центром O и радиусом
ρ , круговые конусы с вершиной О, образующие которых составляют с осью вращения
Оz угол θ , и полуплоскости, проходящие через Оz под углом ϕ к плоскости Оxz.
Сферические координаты ρ , θ , ϕ                связаны с прямоугольными координатами x, y , z
соотношениями:
x = ρ sin(θ ) cos(ϕ ), y = ρ sin(θ ) sin(ϕ ), z = ρ cos(θ ).   Отметим, что в географии угол                          θ
соответствует широте, отсчитываемый от северного полюса, а угол ϕ долготе.
Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид
     1 ∂ ⎛ 2 ∂u ⎞      1       ∂ ⎛          ∂u ⎞      1      ∂ 2u
∆u = 2     ρ      +                 sin(θ )    ⎟+                 .
    ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠ ρ 2 sin(θ ) ∂θ ⎜⎝         ∂θ ⎠ ρ 2 sin(θ ) ∂ϕ 2


3. Уравнения математической физики

Основные уравнения математической физики
В этом параграфе мы просто еще раз перечислим основные наиболее часто применяемые
уравнения математической физики.
1. Уравнение Лапласа
                                               ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
                                                   +    +     = 0.
                                               ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

Уравнение        Лапласа       встречается        в    электростатике,          магнитостатике,           гидро-      и
аэродинамике, теории теплопроводности, теории упругости                                    и других разделах
естествознания. Этому уравнению должен удовлетворять потенциал сил тяготения или
сил взаимодействия электрических зарядов во всех точках пространства, находящихся
вне зарядов, создающих поле, потенциал скорости безвихревого течения несжимаемой
жидкости.

   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова        http://ani.cs.msu.su       5