Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
Классификация уравнений второго порядка
Уравнение
2
,1
() (,, ) 0
n
ij
ij
ij
u
ax Ф x u gradu
xx
=
∂
+
=
∂∂
∑
в каждой фиксированной точке
0
x
можно привести к каноническому виду линейным
преобразованием
,
T
B
xB
ξ
=
- такая матрица, что преобразование
yB
η
=
приводит
квадратичную форму
0
,1
()
n
ij i j
ij
axyy
=
∑
к каноническому виду.
Квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
222
22
(, ) 2(, ) (, ) (, ,, , ),
0
xy
uuu
axy bxy cxy Ф xyuu u
xxyy
abc
∂∂∂
++=
∂∂∂∂
++≠
(1)
принадлежит
гиперболическому типу, если
2
0,bac−>
параболическому типу, если
2
0,bac−=
эллиптическому типу, если
2
0.bac−<
Характеристическое уравнение
22
(, )( ) 2(, ) (, )( ) 0a x y dy b x y dxdy c x y dx−+=
,
на решениях которого исходное уравнение (1) принимает наиболее простой вид,
распадается на два уравнения:
2
2
()
()
ady b b ac dx
ady b b ac dx
0,
0.
−
+− =
−
−− =
(2)
Рассмотрим более подробно различные случаи.
Уравнение гиперболического типа:
2
0.bac
−
>
Общие интегралы
1
(, ) , (, )
2
x
yc xyc
ψ
==
уравнений (2) действительны и различны.
Они определяют два различных семейства действительных характеристик для уравнений
(1). Заменой переменных
(, ), (, )
x
yxy
ξ
ϕηψ
== уравнений (1) приводится к
каноническому виду
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 7 
Е. Ю. Ечкина         Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




Классификация уравнений второго порядка
Уравнение
                                      n
                                                     ∂ 2u
                                    ∑ aij ( x )
                                    i , j =1        ∂xi ∂x j
                                                             + Ф( x, u, gradu ) = 0

в каждой фиксированной точке x0 можно привести к каноническому виду линейным

преобразованием ξ = BT x,                      B - такая матрица, что преобразование y = Bη приводит
квадратичную форму
                                                        n

                                                      ∑a
                                                      i , j =1
                                                                 ij
                                                                      ( x0 ) yi y j

к каноническому виду.
Квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
                          ∂ 2u               ∂ 2u            ∂ 2u
               a ( x , y ) 2 + 2 b( x , y )       + c( x, y ) 2 = Ф( x, y , u, u x , u y ),
                          ∂x                ∂x∂y             ∂y                                                         (1)
               a + b + c ≠0
принадлежит
гиперболическому типу, если b 2 − ac > 0,

параболическому типу, если b 2 − ac = 0,

эллиптическому типу, если b2 − ac < 0.
Характеристическое уравнение
                             a ( x, y )( dy ) 2 − 2b( x, y )dxdy + c( x, y )( dx ) 2 = 0 ,
на решениях которого исходное уравнение (1) принимает наиболее простой вид,
распадается на два уравнения:

                                                    ady − (b + b2 − ac )dx = 0,
                                                                                                                        (2)
                                                    ady − (b − b2 − ac )dx = 0.
Рассмотрим более подробно различные случаи.
Уравнение гиперболического типа: b2 − ac > 0.
Общие интегралы ϕ ( x , y ) = c1 , ψ ( x , y ) = c2 уравнений (2) действительны и различны.
Они определяют два различных семейства действительных характеристик для уравнений
(1). Заменой переменных ξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y )                                уравнений (1) приводится к
каноническому виду


   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова          http://ani.cs.msu.su         7

Страницы