Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
2
1
(,,, , ).
u
Ф uu u
ξη
ξη
ξη
∂
=
∂∂
Уравнение параболического типа:
2
0.bac
−
=
Общий интеграл
(, )
x
yc
ϕ
=
уравнений (2) определяет семейство действительных
характеристик для уравнения (1). Заменой переменных
(, ), (, )
x
yxy
ξ
ϕηψ
=
= , где
(, )
x
y
ψ
— любая гладкая функция такая, что эта заменяя переменных взаимно
однозначна в рассматриваемой области, уравнение (1) приводится к каноническому
виду
2
1
2
(,,, , ).
u
Ф uu u
ξη
ξη
η
∂
=
∂
Уравнение эллиптического типа:
2
0.bac
<
Общий интеграл
(, ) (, )
x
yixyc
ϕ
ψ
+=
, где (, ), (, )
x
yxy
ϕ
ψ
- действительные
функции. Заменой переменных
(, ), (, )
x
yxy
ξ
ϕηψ
=
= уравнение (1) приводится к
каноническому виду
22
1
22
(,,, , ).
uu
Ф uu u
ξη
ξη
ξη
∂∂
+=
∂∂
Типовые задачи
Привести к каноническому виду уравнения:
a)
222
22
32 23
uuuuu
xxyyxy
∂∂∂∂∂
+−++=
∂∂∂∂∂∂
0;
b)
222
22
2354
uuuuu
u
xxyyxy
∂∂∂∂∂
+++−+=
∂∂∂∂∂∂
0;
c)
222
22
435 4
uuuuu
u
xxyyxy
∂∂∂∂∂
+++++=
∂∂∂∂∂∂
0;
d)
22
22 2
22
44
x
uuu
ye y u
xy y
∂∂ ∂
−−+=
∂∂ ∂
40;
e)
22 222
22
2226
uu uuu
xyxxzyz
∂∂ ∂∂∂
+−++=
∂∂∂∂∂∂∂
2
0;
f)
22
0;
uuuuu
yx xz x y z
∂∂∂∂∂
−++−=
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 8 
Е. Ю. Ечкина        Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




                                           ∂ 2u
                                                = Ф1 (ξ ,η , u, uξ , uη ).
                                          ∂ξ∂η
Уравнение параболического типа: b2 − ac = 0.
Общий интеграл ϕ ( x, y ) = c уравнений (2) определяет семейство действительных
характеристик для уравнения (1). Заменой переменных ξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y ) , где
ψ ( x, y ) — любая гладкая функция такая, что эта заменяя переменных взаимно
однозначна в рассматриваемой области, уравнение (1) приводится к каноническому
виду
                                           ∂ 2u
                                                = Ф1 (ξ ,η , u, uξ , uη ).
                                           ∂η 2
Уравнение эллиптического типа: b2 − ac < 0.
Общий интеграл ϕ ( x, y ) + iψ ( x, y ) = c , где                 ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) - действительные
функции. Заменой переменных ξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y ) уравнение (1) приводится к
каноническому виду
                                       ∂ 2u ∂ 2u
                                           +     = Ф1 (ξ ,η , u, uξ , uη ).
                                       ∂ξ 2 ∂η 2

Типовые задачи
Привести к каноническому виду уравнения:
        ∂ 2u    ∂ 2u ∂ 2u  ∂u  ∂u
    a) 3 2 + 2      − 2 + 2 + 3 = 0;
        ∂x     ∂x∂y ∂y     ∂x  ∂y

         ∂ 2u      ∂ 2u ∂ 2u  ∂u  ∂u
    b)        + 2      + 2 + 3 − 5 + 4u = 0;
         ∂x 2
                  ∂x∂y ∂y     ∂x  ∂y

         ∂ 2u      ∂ 2u     ∂ 2u   ∂u ∂u
    c)        + 4       + 3      +5 +    + 4u = 0;
         ∂x 2
                  ∂x∂y      ∂y 2
                                   ∂x ∂y

           ∂ 2u 2 x ∂ 2u        ∂u
    d) 4 y     2
                −e       − 4 y2    + 4u = 0;
           ∂x 2
                    ∂y 2
                                ∂y

         ∂ 2u      ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u
    e)        + 2       − 2      + 2      + 6      = 0;
         ∂x 2     ∂y∂x      ∂x∂z     ∂y 2     ∂z 2

          ∂ 2u   ∂ 2u ∂u ∂u ∂u
    f)         −     +  +  −   = 0;
         ∂y∂x ∂x∂z ∂x ∂y ∂z




   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова        http://ani.cs.msu.su       8

Страницы