Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
2
10
22 2
11
(,) ,
4
111
() ()
44
xat
xat xat
x
uxt f t d
ax a
udS u dS
at a t t
ξ
ξξ
ξ
ξ
ξ
πξ
ξξ
ππ
−<
−= −=
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
−
⎝⎠
+
⎡
⎤
∂
+
⎢
⎥
∂
⎣
⎦
∫
∫∫
.
Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности
Найти u(x,t) класса
, удовлетворяющей при t>0 уравнению
2
(0) (0Ct Ct>∩ ≥)
2
(,)
u
au fxt
t
∂
=∆+
∂
и начальным условиям
0
0
().
t
uux
=
=
где
0
,
f
u
- заданные функции.
Решение задачи Коши существует и единственно и выражается формулой Пуассона
()
2
2
2
2
4
0
4
0
1
(,) ()
(2 )
,
2()
n
n
x
at
n
R
x
t
at
n
R
uxt u e d
at
f
edd
at
ξ
ξ
ξ
ξ
π
ξτ
ξτ
πτ
−
−
−
−
=
+
⎡⎤
−
⎣⎦
∫
∫∫
.
Задача Дирихле для круга.
Решим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в круге: найти функцию u,
удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга радиуса а:
0u
∆
=
и граничному условию на границе круга
,
Г
uf
=
где f – заданная функция.
Предположим, что функция f непрерывна и дифференцируема и решение u непрерывно
в замкнутой области.
Введем полярную систему координат
(
)
,r
с началом в центре круга. Уравнение
Лапласа в полярных координатах имеет вид
2
22
11
0, 0 , .
uu
ra
rr r r
π
ϕπ
ϕ
∂∂ ∂
⎛⎞
+=≤<−<<
⎜⎟
∂∂ ∂
⎝⎠
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 10 
Е. Ю. Ечкина           Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




                                                1                    1      ⎛       ξ−x                            ⎞
                               u ( x, t ) =               ∫               f ⎜ξ ,t −                                ⎟ dξ +
                                              4π a 2    ξ− x < at   ξ−x     ⎝        a                             ⎠
                                                                                                                              .
                                 1                            1 ∂ ⎡1                        ⎤
                                          ∫     u1 (ξ )dS +         ⎢       ∫     u0 (ξ )dS ⎥
                               4π a t ξ − x =at
                                 2 2
                                                            4π a ∂t ⎣ t ξ − x =at
                                                                2
                                                                                            ⎦

Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности

  Найти u(x,t) класса C 2 (t > 0) ∩ C (t ≥ 0) , удовлетворяющей при t>0 уравнению
  ∂u
     = a 2 ∆u + f ( x, t ) и начальным условиям
  ∂t
  u t =0 = u0 ( x ).

  где f , u0 - заданные функции.
  Решение задачи Коши существует и единственно и выражается формулой Пуассона
                                                                                                               2
                                                                                                        x −ξ
                                                                     1                              −
                                          u ( x, t ) =                        ∫ u (ξ )e                            dξ +
                                                                                                           2
                                                                                                        4a t

                                                           (2a π t )      n            0
                                                                                  n
                                                                              R
                                                                                                                          .
                                                         f (ξ ,τ )
                                                                                             2
                                          t                                           x −ξ
                                                                                  −

                                          ∫∫                              n   e       4 a 2t
                                                                                                 d ξ dτ
                                          0 R   n
                                                    ⎡ 2a π ( t − τ ) ⎤
                                                    ⎣                ⎦



Задача Дирихле для круга.
Решим первую краевую задачу для уравнения Лапласа в круге: найти функцию u,
удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри круга радиуса а:
                                                                    ∆u = 0
и граничному условию на границе круга
                                                                    uГ = f,

где f – заданная функция.
Предположим, что функция f непрерывна и дифференцируема и решение u непрерывно
в замкнутой области.
Введем полярную систему координат ( r,ϕ ) с началом в центре круга. Уравнение

Лапласа в полярных координатах имеет вид
                                   1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ 1 ∂ 2u
                                        ⎜ ⎟+            = 0, 0 ≤ r < a, − π < ϕ < π .
                                   r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2


   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова                                           http://ani.cs.msu.su   10

Страницы