Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 11 стр.

Е. Ю. Ечкина        Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




Граничные условия:
                                                u r =0 = O (1), u r =a = f (ϕ ).

Кроме того, мы должны поставить дополнительные условия, вытекающие из характера
задачи – условия периодичности:
                                                                 ∂u               ∂u
                                            u ϕ =−π = u ϕ =π ,                =               .
                                                                 ∂ϕ   ϕ =−π
                                                                                  ∂ϕ   ϕ =π


Уравнение Лапласа допускает разделение переменных. Будем искать решение в виде
                                                       u = R ( r )Φ (ϕ ) .

После подстановки в уравнение и разделения переменных получим
                                                  Φ '' (ϕ ) + λΦ (ϕ ) = 0,
                                                  r ( rR ' ( r ))' − λ R( r ) = 0.

В силу условий периодически
                                            Φ ϕ =−π = Φ ϕ =π , Φ ' ϕ =−π = Φ ' ϕ =π .

Найдем собственные значения и собственные функции краевой задачи. Общее решение
уравнения имеет вид
                                   Φ (ϕ ) = A cos( λϕ ) + B sin( λϕ ), λ ≠ 0.

Из граничных условий находим
                                          2 B sin( λϕ ) = 0, 2 A sin( λϕ ) = 0.

Если sin( λϕ ) ≠ 0 , то А=В=0 и мы имеем тривиальное решение. Следовательно,

sin( λϕ ) = 0 ⇒ λ = λn = n 2 , n ∈ . Собственные функции будут

Φ n (ϕ ) = Bn sin( nϕ ) + An cos( nϕ ).

Рассмотрим теперь уравнение r ( rR ' ( r ))' − λ R( r ) = 0 , при λ = λn = n 2 , n ∈ . Будем искать

решение в виде R ( r ) = r s .Соответствующее характеристическое уравнение

s 2 − n 2 = 0, ⇒ s = ±n. Следовательно, общее решение будет иметь вид
                          Rn ( r ) = Cn r n + Dn r − n , n ∈ , R0 ( r ) = C0 + D0 ln( r ).
Итак, с учетом того, что u должна быть конечна, имеем
                                 un = ( N n sin(nϕ ) + M n cos(nϕ )), n ∈ ,
                                 u0 = M 0 , n = 0.
Построенные частные решения отвечают всем условиям задачи, кроме                                           граничного
условия u r =a = f (ϕ ) . Чтобы удовлетворить этому условию надо

   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова           http://ani.cs.msu.su    11