Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
Собственные значения находим из условия разрешимости однородной системы
sin( 2 )
1cos( 2)
() 0 ( ) 2(1 cos( 2)) 0
sin( 2 ) 1 cos( 2 )
λπ
λπ
λλ
λ
λπ λπ
−−
∆= =⇒∆ =− =⇒
−
λπ
2
cos( 2 ) 1, , 0,1,2...
n
nn
λπ λ
===
Собственные функции будут иметь вид
sin( )
() cos( ) .
nn n
nx
Xx A nx B
n
=+
Типовые задачи.
1. Решить задачи (n=1)
a.
22
2
22
00
6, , 4 ;
t
tt
uu
uxu
tx
==
∂∂
=+ = =
∂∂
x
b.
22
22
00
sin , sin , 0;
t
tt
uu
xu xu
tx
==
∂∂
=+ = =
∂∂
c.
22
2
22
00
sin , 0, 0;
t
tt
uu
awxuu
tx
==
∂∂
=+ = =
∂∂
d.
22
2
22
00
(,), (), ().
t
tt
uu
afxtuxu
tx
ϕψ
==
∂∂
=+ = =
∂∂
x
2. Решить задачи (n=2)
a.
2
32
2
00
3, cos, sin
xx
t
tt
u
ux xy u e y u e y
t
==
∂
=∆ + − = =
∂
;
b.
2
33 2 2
2
00
3,,
t
tt
u
ux y u x u y
t
==
∂
=∆+ + = =
∂
;
c.
2
24
2
00
,,
t
tt
u
au u r u r
t
==
∂
=∆ = =
∂
4
;
d.
2
22
2
00
,0,
t
t
tt
u
aure u u
t
==
∂
=∆+ = =
∂
0;
e.
2
2
2
00
(,,), (,), (,).
t
tt
u
au fxyt u xy u xy
t
ϕψ
==
∂
=∆+ = =
∂
3. Решить задачи (n=1)
a.
2
2
0
4,
t
t
uu
te u
tx
=
∂∂
=++ =
∂∂
2;
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 13 
Е. Ю. Ечкина          Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




Собственные значения находим из условия разрешимости однородной системы

                                       sin( λ 2π )
           1 − cos( λ 2π )         −
∆(λ ) =                                    λ      = 0 ⇒ ∆ ( λ ) = 2(1 − cos( λ 2π )) = 0 ⇒
               sin( λ 2π )        1 − cos( λ 2π )

cos( λ 2π ) = 1, λn = n 2 , n = 0,1, 2...
Собственные функции будут иметь вид
                                 sin(nx )
X n ( x ) = An cos( nx ) + Bn             .
                                    n

Типовые задачи.
    1. Решить задачи (n=1)
                  ∂ 2u ∂ 2u
               a.      = 2 + 6, u t =0 = x 2 , ut t =0 = 4 x;
                  ∂t 2
                        ∂x
                  ∂ 2u ∂ 2u
               b.     =     + sin x, u t =0 = sin x, ut t =0 = 0;
                  ∂t 2 ∂x 2
                  ∂ 2u    2 ∂ u
                             2

               c.      =a        + sin wx, u t =0 = 0, ut t =0 = 0;
                  ∂t 2      ∂x 2
                  ∂ 2u    2 ∂ u
                             2

               d.      =a        + f ( x, t ), u t =0 = ϕ ( x ), ut t =0 = ψ ( x ).
                  ∂t 2      ∂x 2
    2. Решить задачи (n=2)
                  ∂ 2u
               a.      = ∆u + x 3 − 3xy 2 , u t =0 = e x cos y , ut t =0 = e x sin y;
                  ∂t 2



                  ∂ 2u
               b.      = 3∆u + x 3 + y 3 , u t =0 = x 2 , ut t =0 = y 2 ;
                  ∂t 2



                  ∂ 2u
               c.      = a 2 ∆u, u t =0 = r 4 , ut t =0 = r 4 ;
                  ∂t 2



                  ∂ 2u
               d.      = a 2 ∆u + r 2 et , u t =0 = 0, ut t =0 = 0;
                  ∂t 2



                  ∂ 2u
               e.      = a 2 ∆u + f ( x, y , t ), u t =0 = ϕ ( x, y ), ut t =0 = ψ ( x, y ).
                  ∂t 2



    3. Решить задачи (n=1)
                  ∂u    ∂ 2u
               a.    = 4 2 + t + et , u t =0 = 2;
                  ∂t    ∂x

   Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова          http://ani.cs.msu.su       13

Страницы