Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 12 стр.

Е. Ю. Ечкина                      Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




                            ∞
u r =a = M 0 + ∑ ( N n sin( nϕ ) + M n cos( nϕ ) ) a n = f (ϕ ) .
                           n =1


Если функция f (ϕ ) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, то можно
написать
                       π
               1
a Mn =
  n
                       ∫    f (ϕ ) cos( nϕ )dϕ ,
             π     −π
                   π
             1
an Nn =            ∫       f (ϕ )sin( nϕ )dϕ ,
             π     −π
                   π
           1
M0 =               ∫       f (ϕ )dϕ .
          2π     −π


Таким образом, получено формальное решение задачи.

Задача Штурма-Лиувилля.
В математической физике важны методы, при которых решение задачи получается в
форме ряда, по некоторой системе функций.                                        Чтобы найти естественную систему
функций, по которой можно осуществить разложение, необходимо найти решение
граничной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения, получившей
название задачи Штурма-Лиувилля. Различают задачи двух типов – регулярную задачу
и сингулярную задачу.
Рассмотрим задачу
X '' ( x ) + λ X ( x ) = 0, 0 < x < 2π ;
X (0) = X (2π ),                     X ' (0) = X ' (2π ).
Фундаментальная система решений, очевидно, будет такой

                                                        sin( λ x )
ϕ ( x, λ ) = cos( λ x ), ψ ( x, λ ) =                                .
                                                               λ
Общий интеграл уравнения Штурма-Лиувилля

                                             sin( λ x )
X ( x ) = A cos( λ x ) + B                                .
                                                   λ

Подставив этот интеграл в граничные условия, получим

                                           sin( λ 2π )
A[1 − cos( λ 2π )] − B                                      = 0,
                                                  λ
A λ sin( λ 2π ) + B[1 − cos( λ 2π )] = 0.

      Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова                   http://ani.cs.msu.su       12