Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики. Ечкина Е.Ю. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики
g)
2222 222
22 2
222223
uuuu uuu
x yx y yt yz z t
∂∂∂∂ ∂∂∂
++++++=
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
2
0;
h)
22222
2
20
uuuuu
xyxxtxztz
∂∂∂∂∂
++++=
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
;
i)
22
22
0;
uu
y
xy
∂∂
−=
∂∂
j)
22
22
0;
uu
yx
xy
∂∂
−=
∂∂
k)
22
22
22
0;
uu
xy
xy
∂∂
+=
∂∂
l)
22
22
22
(1 ) (1 ) 0;
uu
xyy
xy
∂∂∂
++++
∂∂∂
u
y
=
m)
22
22
22
40
x
uu
ye
xy
∂∂
−=
∂∂
;
)Ct>∩ ≥
4. Решение уравнений математической физики
Классическая задача Коши для волнового уравнения
Найти u(x,t) класса
Ct
, удовлетворяющей при t>0 уравнению
21
(0) (0
2
2
2
(,)
u
au fxt
t
∂
=∆+
∂
и начальным условиям
01
00
(), ()
t
tt
uuxu ux
==
==
где - заданные функции.
01
,fuи
Решение задачи Коши существует и единственно и выражается
При n=1 формулой Даламбера
[]
()
00 1
0()
111
(,) ( ) ( ) () (,)
222
xat
xat t
xat xat
uxt u x at u x at u d f d d
aa
τ
τ
ξ
ξξτ
+−
+
−−−
=++−+ +
∫∫∫
ξτ
;
при n=2 формулой Пуассона
2
22
0()
10
22
22 22
1(,)
(,)
2
()
1()1 ()
;
22
t
xat
xat xat
fdd
uxt
a
at x
ud ud
aat
at x at x
ξτ
ξξ
ξ
τξτ
π
τξ
ξξ ξξ
ππ
ξξ
−< −
−< −<
=+
−−−
∂
+
∂
−− −−
∫∫
∫∫
при n=3 формулой Кирхгофа
Кафедра автоматизации научных исследований факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su 9 
Е. Ю. Ечкина           Специализированный практикум с использованием системы Maple для решения задач математической физики




         ∂ 2u      ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u     ∂ 2u
    g)        + 2       + 2      + 2      + 2      + 2      + 3      = 0;
         ∂x 2     ∂y∂x      ∂y 2     ∂y∂t     ∂y∂z     ∂z 2     ∂t 2

       ∂ 2u     ∂ 2u   ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
    h)      +2       +     +    +     = 0;
       ∂x 2    ∂y∂x ∂x∂t ∂x∂z ∂t∂z

         ∂ 2u     ∂ 2u
    i)        − y      = 0;
         ∂x 2     ∂y 2

             ∂ 2u     ∂ 2u
    j)   y        − x      = 0;
             ∂x 2     ∂y 2

        ∂ 2u   2 ∂ u
                  2
    k) x 2 + y
             2
                      = 0;
        ∂x       ∂y 2

                    ∂ 2u          2 ∂ u
                                      2
                                             ∂u
    l) (1 + x 2 )        + (1 + y  )      +y    = 0;
                    ∂x 2
                                     ∂y 2
                                             ∂y

                 ∂ 2u 2 x ∂ 2u
    m) 4 y 2          −e       = 0;
                 ∂x 2     ∂y 2


4. Решение уравнений математической физики

Классическая задача Коши для волнового уравнения

  Найти u(x,t) класса C 2 (t > 0) ∩ C 1 (t ≥ 0) , удовлетворяющей при t>0 уравнению

  ∂ 2u
       = a 2 ∆u + f ( x, t ) и начальным условиям
  ∂t 2



  u t =0 = u0 ( x ), ut t =0 = u1 ( x )
  где f , u0 и1 - заданные функции.
  Решение задачи Коши существует и единственно и выражается
  При n=1 формулой Даламбера
             1                                   1 x + at            1 t x +a ( t −τ )
  u( x, t ) = [u0 ( x + at ) + u0 ( x − at )] +      ∫ u1 (ξ )d ξ + 2a ∫0 x −a∫( t −τ ) f (ξ ,τ )d ξ dτ ;
             2                                  2a x −at
  при n=2 формулой Пуассона
                                         1   t
                                                                            f (ξ ,τ )d ξ dτ
                          u( x, t ) =       ∫ ∫
                                        2π a ξ
                                                                                                   +
                                                                    a (t − τ ) − ξ − x
                                                                        2          2           2
                                             0   − x < a ( t −τ )


                            1                u1 (ξ )d ξ                      1 ∂                u0 (ξ )d ξ
                                   ∫
                          2π a ξ − x

Страницы