Визуализация в научных исследованиях. Ечкина Е.Ю - 18 стр.

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»


Лекция №5. Множества        Жюлиа, множество Мандельброта и их
компьютерное представление.

Комплексные динамические системы. Итерации рациональной функции R(z)=P(z)/Q(z).
Периодическая точка и периодическая траектория (цикл), собственное значение
точки z 0 . Классификация периодических точек. Бассейн притяжения. Определение и
фундаментальные свойства множества Жюлиа. Динамика в окрестности
нейтральных периодических точек. Параболический случай. Множества Жюлиа для
трансцендентных отображений. Множество Мандельброта для квадратичного
отображения. Построение множества Мандельброта

Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который
впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления и восхищения,
которое вызывает графическое построение множеств Жюлиа и множества
Мандельброта на плоскости.
Ограничимся рассмотрением функции, которая представляет собой полиномы одного
комплексного переменного. Пусть
 f ( z )  an z n  an1 z n 1  ...  a1 z  a0 , an  0.
полином степени n  2 коэффициенты которого комплексные числа. Множество
Жюлиа функции f, обозначаемое J(f), определяется как
J ( f )  {z : f ( n ) ( z ) , n }
Таким образом, множество Жюлиа f есть граница множества точек z, стремящихся к
бесконечности при итерировании f(z). Множество названо в честь французского
математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который одновременно с Пьером Фату (1878-
1929) в 1917-19 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций
комплексного переменного. Еще раз мы видим впечатляющий пример математических
исследований, которые далеко опередили свое время в том смысле, что потребовалось
более 50 лет, прежде чем компьютерная графика достигла уровня, позволяющего
наблюдать эти математические объекты. Можно написать простую программу для
построения заполняющего множества Жюлиа. Заполняющее множество Жюлиа
состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества,
которое и является настоящим множеством Жюлиа. Заполняющие множества более
привлекательны визуально и именно по этой причине наиболее часто реализуются
программно. Такая программа наилучшим образом работает в случае множества
Жюлиа, обладающих притягивающей периодической орбитой. В первую очередь
рассмотрим множества Жюлиа квадратичных функций                f c ( z )  z 2  c, с-
комплексная константа.
Приведем примеры изображений множеств Жюлиа для различных с.




Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su            18