Визуализация в научных исследованиях. Ечкина Е.Ю - 20 стр.

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»



Определение 3. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство, A, B  H ( X ) , тогда
d ( A, B )  max{d ( x, B ) : x  A} называется расстоянием от множества А до
множества В.
    Для иллюстрации этого определения рассмотрим следующий пример:

                                   A  {x1 , x2 : x12  x22  4}
                                   B  { x 1 , x2 : x12  x22  1}

                                                   x2


                                                    1      2         x1




Тогда легко видеть, что d ( A, B )  max{d ( x , B ) : x  A}  1,
d ( B, A)  max{d ( x , A) : x  B}  0.
Можно сравнить также расстояния d ( Россия, Москва) и d ( Москва, Россия ).
Определение 4. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство. Тогда хаусдорфово
расстояние     между      элементами       A, B  H ( X )    определяется    как
h ( A, B )  d ( A, B )  d ( B, A)  max{d ( A, B ); d ( B, A)}.
Оказывается, что функция h(A,B) удовлетворяет всем аксиомам метрики, и (H(X),h)
является метрическим пространством. Более того, справедлива
Теорема 1. Если (X, d) - полное метрическое пространство, то (H(X),h) - тоже полное
метрическое пространство относительно метрики Хаусдорфа. Более того, если
{ An  H ( X )}n1 - последовательность Коши, то имеет следующую структуру
A  lim An  H ( X ) A  {x  X :  последовательность Коши {xn : x x  An } такая,
      n 

что lim xn  x} .
     n 
Мы обратимся теперь к одному из наиболее замечательных и глубоких достижений в
теории фракталов - системам итерированных функций или IFS (Iterated Function
Systems). Математические аспекты теории были разработаны Джоном Хатчинсоном
(John E. Hutchinson, Fractals and Self Similarity, Indiana University Mathematics Journal,
v.30, N 5. 1981, pp. 713-717.), a сам метод стал хорошо известен благодаря Майклу
Барнсли (Мichael Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, Boston, 1988).
Подход на основе систем итерированных функций представляет хорошую
теоретическую базу для математического исследования многих классических
фракталов, а также их обобщений.
Следует иметь в виду, с самого начала, что результат применения IFS называемый
аттрактором, не всегда является фракталом. Это может быть любой компакт, включая
интервал или квадрат. Тем не менее, изучение систем итерированных функций важно
для теории фракталов, так как с их помощью можно получить удивительное
множество красивых фрактальных изображений.
Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su             20