Визуализация в научных исследованиях. Ечкина Е.Ю - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»
Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su
5
u
2 2 2
u u
v
2 2 2
v v
x y z
E(u,v)
u u u
x x y y z z
F(u,v)
u v u v u v
x y z
G(u,v)
v v v
r r
r r
r r
Формула (1) задает первую основную квадратичную форму поверхности, которая
всегда является положительно определенной.
В каждой точке кривой
(u(t),v(t))
r r
вектор кривизны может быть единственным
образом представлен в виде суммы двух векторов, один из которых лежит в
касательной плоскости, а другой направлен вдоль нормали к поверхности S
2
G N
2
d d
k k ( ) k
ds ds
r r
n N N
.
N-единичный вектор нормали к поверхности, n-единичный вектор главной нормали
кривой С.
2
G
2
d d d
k k , , k , ,
ds ds ds
r r r
n N N
-кривизна проекции, кривой С на
касательную плоскость,
2
N
2
d d d
k k( )
ds ds ds
r r N
n N N -кривизна нормального
сечения.
Для того чтобы записать выражение
N
k
в криволинейных координатах u,v
рассмотрим дифференциал
u v
d du dv
N N N
и введем обозначения
uu u v
u u
2
uv u v
u v
2
vv u v
v v
2
, ,
L(u,v)
EG F
, ,
M(u,v)
EG F
, ,
N(u,v)
EG F
r r r
r N
r r r
r N
r r r
r N
,
тогда
2 2
d d L(u,v)du 2M(u,v)dudv N(u,v)dv
r N
Все производные во второй квадратичной форме берутся в точке (u,v).
В этих обозначениях кривизна нормального сечения в точке (u,v) поверхности S имеет
вид
2 2
N
2 2 2
d d Ldu 2Mdudv Ndv
k
ds Edu 2Fdudv Gdv
r N
. Точка поверхности, в которой
N
k
имеет одно и то же значение для всех нормальных сечений (L:M:N=E:F:G) называется
омбилической. В каждой неомбилической точке существуют два нормальных сечения,
которым соответствуют наибольшая
1
k
и наименьшая
2
k
величина кривизны
N
k
-
главные кривизны поверхности S в точке (u,v). Плоскости главных нормальных
сечений взаимно перпендикулярны. Величины
1 2
k , k
являются собственными 
Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»

                                                      2         2            2
                                               x   y   z 
                           E(u,v)  ru  ru         
                                               u   u   u 
                                              x x y y z z
                           F(u,v)  r  rv                
                                       u
                                              u v u v u v
                                                    2      2       2
                                               x   y   z 
                           G(u,v)  rv  rv         
                                               v   v   v 
Формула (1) задает первую основную квадратичную форму поверхности, которая
всегда является положительно определенной.

В каждой точке кривой r  r (u(t),v(t)) вектор кривизны может быть единственным
образом представлен в виде суммы двух векторов, один из которых лежит в
касательной плоскости, а другой направлен вдоль нормали к поверхности S
d 2r                 dr
      kn  k G
                (N     )  kNN .
ds 2                 ds
N-единичный вектор нормали к поверхности, n-единичный вектор главной нормали
                                        2
                dr           dr d r 
кривой С. k G  k    ,  ,
                ds   n  N   ds ds2 ,N  -кривизна проекции, кривой С на
                                k    ,

                                        d 2r        dr dN
касательную плоскость, k N  k(n  N )  2  N         -кривизна нормального
                                        ds          ds ds
сечения.
Для того чтобы записать выражение k N                     в криволинейных координатах u,v
рассмотрим дифференциал  dN  N u du  N v dv и введем обозначения
                                             r ,r ,r 
                         L(u,v)  ru  N u  uu u v 2
                                               EG  F
                                              r ,r ,r 
                         M(u,v)  ru  N v  uv u v 2 ,
                                                EG  F
                                              r ,r ,r 
                         N(u,v)  rv  N v  vv u v 2
                                                EG  F
                         2                             2
тогда dr  dN  L(u,v)du  2M(u,v)dudv  N(u,v)dv
Все производные во второй квадратичной форме берутся в точке (u,v).
В этих обозначениях кривизна нормального сечения в точке (u,v) поверхности S имеет
              dr  dN Ldu 2  2Mdudv  Ndv 2
вид k N                                    . Точка поверхности, в которой k N
               ds2     Edu 2  2Fdudv  Gdv 2
имеет одно и то же значение для всех нормальных сечений (L:M:N=E:F:G) называется
омбилической. В каждой неомбилической точке существуют два нормальных сечения,
которым соответствуют наибольшая k1 и наименьшая k 2 величина кривизны k N -
главные кривизны поверхности S в точке (u,v). Плоскости главных нормальных
сечений взаимно перпендикулярны. Величины k1 , k 2 являются собственными



Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su              5

Страницы