Визуализация в научных исследованиях. Ечкина Е.Ю - 7 стр.

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров, И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»


Предполагаем, что область V является ограниченной и односвязной, поверхность S
замкнутая и регулярная, а все функции и их частные производные непрерывны в
замкнутой области V  S .

1.             F (r )dv   F (r)dS
             V                   S

2.             F (r )dv   F (r)  dS
             V                       S

3.             Ф(r )dv   Ф(r )dS
             V                   S

                                                                               Ф          
               Ф  Ф  dv    Ф  Ф dS     n
                      2          2
4.                                                                                    Ф       dS .
             V                                      S                   S                  n 
                  2                                 Ф
5.            Фdv   Ф  dS =  n dS .
             V              S



Если векторная функция F (r ) однозначна и имеет непрерывные частные
производные в конечной односвязной области V, лежащая в области V поверхность S
односвязна и регулярна и ограничена замкнутой регулярной кривой С, тогда верны
следующие утверждения:

1.             F (r )  dS   F (r)  dr , ориентация     dS должна быть согласована с
             S                           C
обходом контура.
2.         (  F (r ))  dS 
             S
                                              F (r )  dr .
                                             C

Векторное поле F (r ) называется безвихревым в области V, если в каждой точке этой
области   F (r )  0. Поле F (r ) является безвихревым тогда и только тогда, когда
- F (r ) есть градиент некоторой скалярной функции Ф(r ) в каждой точке области V.
Функцию Ф(r ) часто называют скалярным потенциалом безвихревого поля.

Векторное поле F (r ) называется соленоидальным в области V, если в каждой точке
этой области   F (r )  0. Поле F (r ) является соленоидальным тогда и только
тогда, когда F (r ) есть ротор некоторой функции точки A( r ) в каждой точке области
V. Функцию A( r ) часто называют векторным потенциалом соленоидального поля.

Теорема Гельмгольца.
Пусть V – конечная открытая область пространства, ограниченная регулярной
поверхностью S положительная которой непрерывна в каждой точке поверхности.
Если дивергенции и ротор F (r ) определены в каждой точке r области V, то всюду в
V функция F (r ) может быть представлена в виде суммы безвихревого поля F1 (r ) и
соленоидального поля F2 (r ) .
                                F (r )  F1 (r )  F2 (r )       
                                                                 .
                                  F1 (r )  0,   F2 (r )  0 


Кафедра АНИ факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова http://ani.cs.msu.su                        7