Теория механизмов и машин. Ефанов А.М - 211 стр.

     Уравнения               движения                по       устойчивой                 ветви       механической
характеристики

                                              J пр ϕ = M Д − M c ,
                                               ϕ = ω   0   − ω 0ν M Д .
        Из второго уравнения имеем
                                              1     ϕ
                                                −    MД =
                                                       .
                                              ν νω 0
Подставляя в первое, после преобразований имеем
                                   1             1     Mc
                        ϕ +            ϕ =        −    .
                              ω 0 ν J пр      ν J пр J пр
     Получили дифференциальное линейное неоднородное уравнение с
постоянными коэффициентами, решение которого аналогично решению
первого уравнения. Причем частное решение характеризует величину
установившегося движения
                   ϕ част = A ⋅ t , ϕ част = A, ϕ част = 0 .
                           A = ω 0 (1 − ν M c ) = ω н .
     Общее     решение      однородного           уравнения     находим через
характеристическое
                                         1
                             p2 +              p = 0,
                                    ω 0 ν J пр
корни которого равны
                                                                      1
                                        p 1 = 0, p 2 = −                    .
                                                                 ω 0 ν J пр
        Полное решение окончательно запишется
                                                                           1
                                                                  −              t
                                                                      ω 0 ν J пр
            ϕ          = ϕ          + ϕ            = С1 + С 2 e                      + ω 0 (1 − ν M c )t .
                полн         общ          част                                              
                                                                                              ωН
        Постоянные интегрирования находим из начальных условий
                           ϕ ( t = 0 ) = 0 и ϕ ( t = 0 ) = 0 .
Тогда
                                   0 = C1 + C 2 ⋅ 1 + 0 → C1 = − C 2 .
Продифференцируем
                                                              1             
                 ϕ ( t = 0) = ω          ω        = С2  −                   + ω 0 (1 − ν M c ) ,
                                   кр         кр         ω 0 ν J пр              
                                                                                      ωН
откуда