Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

ции f(x). В точках разрыва значения частичных сумм приближа-
ются к
1
2
¡
f(x − 0) + f(x + 0)
¢
.
1.6. Выражение a
n
cos
πnx
`
+ b
n
sin
πnx
`
в ряде Фурье называется
n-й гармоникой. Известно, что
a
n
cos
πnx
`
+ b
n
sin
πnx
`
= A
n
cos
³
πnx
`
− ϕ
n
´
, (20)
где
A
n
=
p
a
2
n
+ b
2
n
, sin ϕ
n
=
b
n
A
n
, cos ϕ
n
=
a
n
A
n
(21)
или
ϕ
n
= arctg
b
n
a
n
с учетом четверти.
Совокупности {A
n
} и {ϕ
n
}, n = 1, 2, ... , называются соответ-
ственно амплитудным и фазовым спектром периодической функ-
ции. Графически спектры изображаются в виде отрезков длины A
n
или ϕ
n
, проведенных перпендикулярно оси, на которую наносит-
ся значение n = 1, 2, ... или ω
n
=
πn
`
. Спектры имеют дискретный
характер, причем расстояние между отдельными линиями спектра
равно
π
`
для 2`-периодической функции. Графическое изображе-
ние соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой
диаграммой.
Вычислим несколько первых значений амплитудного и фазового
спектра:
a
1
=
−18
π
2
; b
1
=
−5
π
; A
1
=
q
a
2
1
+b
2
1
≈ 2,42060; ϕ
1
= arctg
b
1
a
1
− π ≈ −2,4241.
Так как a
1
< 0, b
1
< 0, то ϕ
1
∈ III - четверти.
a
2
=0; b
2
=
3
2π
; A
2
=
3
2π
≈ 0,47746; ϕ
2
=
π
2
≈ 1,5708. (22)
a
3
=
−2
π
2
; b
3
=
−5
3π
; A
3
=
q
a
2
3
+b
2
3
≈ 0,56789; ϕ
3
= arctg
b
3
a
3
− π ≈ −1,9357.
Продолжим эти вычисления для n = 4, 5, ..., 8 и занесем дан-
ные в таблицу. Откладывая на графиках вертикальные отрезки соот-
ветствующей длин ы, получим амплитудную и фазовую диаграммы
данной функции. Диаграммы приведены на рис.
4 и 5.
13

Страницы