Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Здесь использована известная сумма ряда (приложение 1).
Ряд Фурье (
4) в общем случае можно записать в комплексной
форме с комплексными коэффициентами. Воспользуемся формула-
ми Эйлера:
cos
πnx
`
=
e
i
πnx
`
+ e
−i
πnx
`
2
, sin
πnx
`
=
e
i
πnx
`
− e
−i
πnx
`
2
, (13)
f(x) ∼
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
e
i
πnx
`
+ e
−i
πnx
`
2
+ b
n
e
i
πnx
`
− e
−i
πnx
`
2
=
=
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
− ib
n
2
e
i
πnx
`
+
a
n
+ ib
n
2
e
−i
πnx
`
(14)
Если ввести обозначения
C
0
=
a
0
2
, C
n
=
a
n
− ib
n
2
, C
−n
=
a
n
+ ib
n
2
, (15)
ряд (
14) можно переписать в виде
f(x) ∼ C
0
+
∞
X
n=1
C
n
e
i
πnx
`
+
∞
X
n=1
C
−n
e
−i
πnx
`
=
= C
0
+
∞
X
n=1
C
n
e
i
πnx
`
+
−1
X
n=−∞
C
n
e
i
πnx
`
=
+∞
X
n=−∞
C
n
e
i
πnx
`
. (16)
Это и есть комплексная форма ряда Фурье с комплексными ко-
эффициентами, определяемыми по формулам (
15).
Коэффициенты комплексного ряда Фурье можно получить и непо-
средственно, вычисляя их по формуле
C
n
=
1
2`
`
Z
−`
f(x)e
−i
πnx
`
dx. (17)
Непосредственное интегрирование по формуле (
17) приводит к
тем же выражениям для комплексных коэффициентов, что и фор-
мулы (
15) (ПОЛУЧИТЬ эти коэффициенты интегрированием).
Запишем теперь в комплексной форме ряд Фурье заданной функ-
11

Страницы