Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

a
0
=
1
3
3
Z
−3
f(x)dx =
1
3
0
Z
−3
(−2x − 1)dx +
3
Z
0
(x − 2)dx
=
3
2
; (7)
a
n
=
1
3
3
Z
−3
f(x) cos
πnx
3
dx =
=
1
3
0
Z
−3
(−2x − 1) cos
πnx
3
dx +
3
Z
0
(x − 2) cos
πnx
3
dx
=
=
9
(πn)
2
(cos πn − 1) =
9
(πn)
2
¡
(−1)
n
− 1
¢
; n = 1, 2, ...; (8)
b
n
=
1
3
3
Z
−3
f(x) sin
πnx
3
dx =
1
πn
(4 cos πn − 1) =
1
πn
¡
4(−1)
n
− 1
¢
. (9)
По формуле (
4) запишем искомый ряд Фурье
f(x) ∼
3
4
+
∞
X
n=1
"
9
¡
(−1)
n
− 1
¢
π
2
n
2
cos
πnx
3
+
−1 + 4(−1)
n
πn
sin
πnx
3
#
. (10)
Равенство в (
10) имеет место во всех точках непрерывности функ-
ции f(x). В точках разрыва значение суммы ряда равно :
S(0) =
1
2
¡
f(0 − 0) + f(0 + 0)
¢
=
−1 − 2
2
= −
3
2
;
S(−3) =
1
2
¡
f(−3 − 0) + f(−3 + 0)
¢
=
1 + 5
2
= 3 (11)
S(3) =
1
2
¡
f(3 − 0) + f(3 + 0)
¢
=
1 + 5
2
= 3
Проверим выполнение условия (
11) в точке x = 0. Подставляя
x = 0 в правую часть (
10) и учитывая, что cos 0 = 1, sin 0 = 0, по-
лучим
S(0) =
3
4
−
∞
X
k=1
18
π
2
(2k − 1)
2
=
3
4
−
18
π
2
∞
X
k=1
1
(2x − 1)
2
=
=
3
4
−
18
π
2
·
π
2
8
=
3
4
−
9
4
= −
3
2
. (12)
10

Страницы