Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

квадраты коэффициентов:
a
2
0
2
=
9
8
= 1,125,
a
2
n
=
162
π
4
·
1
n
4
¡
1 − (−1)
n
¢
, b
2
n
=
1
π
2
n
2
¡
17 − 8(−1)
n
¢
.
(27)
Найдем сумму ряда в правой части (
24):
∞
X
n=1
³
162
π
4
·
1
n
4
+
162
π
4
·
(−1)
n+1
n
4
+
17
π
2
·
1
n
2
+
8
π
2
·
(−1)
n+1
n
2
´
=
=
162
π
4
∞
X
n=1
1
n
4
+
162
π
4
∞
X
n=1
(−1)
n+1
n
4
+
17
π
2
∞
X
n=1
1
n
2
+
8
π
2
∞
X
n=1
(−1)
n+1
n
2
= (28)
=
162
π
4
·
π
4
90
+
162
π
4
·
7π
4
720
+
17
π
2
·
π
2
6
+
8
π
2
·
π
2
12
= 6,875
Здесь использованы известные суммы некоторых рядов.
Окончательно получим
a
2
0
2
+
∞
X
n=1
¡
a
2
n
+ b
2
n
¢
= 1,125 + 6,875 = 8. (29)
Для ряда (
10) равенство Парсеваля выполняется.
Согласно (
25) и (26), средняя мощность сигнала
E
f
= 4. (30)
Запишем математический смысл равенства Парсеваля.
Отметим, что тригонометрический ряд Фурье обладает важным
свойством: при фиксированном числе слагаемых ряда N он обеспе-
чивает наилучшую аппроксимацию в смысле минимума среднеквад-
ратической ошибки, т.е. среднеквадратическая ошибка
M =
v
u
u
u
t
3
Z
−3
µ
f(x) −
N
X
n=0
a
n
cos
πnx
3
+ b
n
sin
πnx
3
2
dx (31)
достигает минимума, когда коэффициенты ряда вычисляются по фор-
мулам (
5), (6).
С математической точки зрения выполнение равенства Парсев а-
ля означает, что ряд Фурье сходится в среднем к функции f(x), т.е.
что среднеквадратическая ошибка стремится к нулю и выполняется
соотношение
lim
N→∞
3
Z
−3
µ
f(x) −
N
X
n=0
a
n
cos
πnx
3
+ b
n
sin
πnx
3
2
dx = 0. (32)
16

Страницы