ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Из этого, однако, еще не следует, что ряд Фурье сходится к функ-
ции f(x) равномерно, т.е. что при достаточно больших N при всех
значениях x из отрезка [−3; 3] модуль разности можно сделать сколь
угодно малым:
¯
¯
¯
¯
f(x) −
N
X
n=0
a
n
cos
πnx
3
+ b
n
sin
πnx
3
¯
¯
¯
¯
< ε. (33)
В некотор ых точках оси Ox эта разность может быть и велика,
важно только, чтобы интеграл от ее квадрата по отрезку [−3; 3] был
мал для больших N.
Итак, из сходимости в среднем ряда Фурье к функции f(x), для
которой он составлен, еще не следует, что суммой этого ряда явля-
ется f(x). В то же время, ряд Фурье, составленный для функции,
непрерывной и кусочно-гладкой на всей числовой оси, сходится к
этой функции равномерно. Такой ряд можно почленно дифференци-
ровать, интегрировать, и его сумма равна функции.
1.8. Продолжим функцию y
1
= x−2, x ∈ [0; 3) периодически на всю
числовую ось четным образом. Получим пери одическую функцию
f
1
(x) с периодом T = 2` = 6, график которой приведен на рис.
6.
Так как полученная периодическая функция f
1
(x) непрерывна на
всей чи слов ой оси, ряд Фурье сходится равномерно к f
1
(x), и график
суммы ряда S(x) полностью совпадает с графиком f
1
(x).
-
6
0 x
f
1
(x)S(x)
−6
−3 3
6
1
−2
Рис. 6. График четной периодической функции и суммы ряда Фурье
Вычислим коэффициенты ряда Фурье эт ой четной функции. Все
коэффициенты b
n
= 0 в силу нечетности подынтегральных функций
f
1
(x) sin
πnx
`
.
17
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
