Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

a
0
=
2
`
`
Z
0
f
1
(x) dx =
2
3
3
Z
0
(x − 2) dx = −1
a
n
=
2
`
`
Z
0
f
1
(x) cos
πnx
`
dx =
2
3
3
Z
0
(x−2) cos
πnx
3
dx =
6
(πn)
2
(cos πn−1) =
=
6
(πn)
2
¡
(−1)
n
− 1
¢
=
(
0 , n = 2k
−12
π
2
(2k − 1)
2
, n = 2k − 1 .
(34)
Действительная форма ряда Фурье четной функции имеет вид
f
1
(x) ∼ −
1
2
+
∞
X
k=1
−12
π
2
(2k − 1)
2
cos
π(2k − 1) x
3
. (35)
Ряд Фурье четной функции содержит только косинусоидальные
гармоники.
Для проверки вычисления подставим в левую и правую части
выражения (
35) значение x = 0: f
1
(0) = −2;
S(0) = −
1
2
+
∞
X
k=1
−12
π
2
(2k − 1)
2
= −
1
2
−
12
π
2
·
π
2
8
= −
1
2
−
3
2
= −2. (36)
Получили верное равенство: f
1
(0) = S(0). В остальных точках
равенство f
1
(x) = S(x) также выполняется.
Запишем комплексную форму ряда Фурье. Для четной функции
f
1
(x) все b
n
= 0, следовательно, все коэффициенты комплексного
ряда Фурье действительные числа:
C
0
=
−1
2
; C
n
=
a
n
2
=
3
(πn)
2
¡
(−1)
n
− 1
¢
, n = ± 1, ±2, . . . . (37)
Комплексная форма ряда Фурье четной функ ции f
1
(x) имеет вид
f
1
(x) ∼
+∞
X
n=−∞
C
n
e
i
πnx
3
. (38)
Для четной функции принято считать ϕ
n
= 0 (так как b
n
= 0)
и рассматривать амплитудный спектр коэффициентов a
n
, которые
откладываются на диаграмме с соответствующим знаком (рис.
7).
Вывод: амплитудный спектр убывает по модулю (не монотон-
но). В этом случае говорят, чт о огибающая огибающих амплитудного
спектра стремится к нулю.
18

Страницы