Спектральное представление функций (сигналов). Ефимов Е.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

нечетной функции имеет вид
f
2
(x) ∼
∞
X
n=1
−2
πn
¡
2 + (−1)
n
¢
sin
πnx
3
. (40)
Ряд Фурье нечетной функции содержит только синусоидальные
гармоники.
Для проверки вычислений подставим в левую и правую части
выражения (
40) значение x =
3
2
: f
2
³
3
2
´
= −
1
2
;
S
³
3
2
´
=
∞
X
n=1
−2
πn
¡
2 + (−1)
n
¢
sin
πn
2
. (41)
Учитывая, что
sin
πn
2
=
½
0 , n = 2k
(−1)
k+1
, n = 2k − 1,
(42)
выражение (
41) перепишется в виде
S
³
3
2
´
=
∞
X
k=1
−2
π(2k − 1)
¡
2 + (−1)
2k−1
¢
·(−1)
k+1
=
= −
∞
X
k=1
2(−1)
k+1
π(2k − 1)
=
−2
π
·
π
4
= −
1
2
(43)
Получили верное равенство: f
2
³
3
2
´
= S
³
3
2
´
. Здесь использова-
на известная сумма ряда. В остальных точках не пре рывно сти функ-
ции равенство f
2
(x) = S(x) также выполняется.
Для нечетной функции все a
n
= 0, следовательно, коэффици-
енты комплексного ряда Фурье чисто мнимые числа:
C
0
= 0; C
n
= −i
b
n
2
=
i
πn
¡
2 + (−1)
n
¢
, n = ± 1, ±2, . . . . (44)
Комплексная форма ряда Фурье нечетной функции f
2
(x) имеет
вид
f
2
(x) ∼
+∞
X
n=−∞
C
n
e
i
πnx
3
. (45)
Для не четн ой функции принято считать ϕ
n
=
π
2
(так как a
n
= 0)
и рассматривать амплитудный спектр коэффициентов b
n
, которые
откладываются на диаграмме с соответствующим знаком (рис.
9).
Вывод: амплитудный спектр убывает по модулю (не монотон-
но). В этом случае говорят, что огибающая огибающих амплитудного
спектра стремится к нулю.
20

Страницы