Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 133 стр.

         Глава 7. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ. ТОЛСТОСТЕННЫЕ ТРУБЫ
                     7.1. Осесимметричный изгиб круглых пластин
                           7.1.1. Основные положения теории

       Тонкостенные конструкции широко применяются в современной технике. Эти
конструкции, обладая прочностью и жесткостью, одновременно легки и экономичны [1].
       Оболочкой называется тело, толщина которого во много раз меньше двух других
размеров. Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих поверхностей оболочки,
называется срединной поверхностью. Срединная поверхность для оболочки играет такую же
роль, как продольная ось для стержня. Если срединная поверхность является плоскостью, то
такую оболочку называют пластиной.
       Для расчета пластин и оболочек используют гипотезы, позволяющие свести
трехмерную задачу к одномерной:
       1. Гипотеза прямых нормалей. Точки, расположенные на линии, нормальной к
серединной поверхности до ее деформации, остаются на прямой, перпендикулярной к
упругой поверхности пластины или оболочки. При этом расстояния между точками не
изменяются.
       2. Гипотеза о не надавливании слоев. Согласно этой гипотезе, напряжениями,
действующими в направлении, перпендикулярном срединной поверхности, можно
пренебречь.
       Гипотезу прямых нормалей и гипотезу о не надавливании слоев объединяют в одну и
называют гипотезой Кирхгофа-Лява.
       На рис.7.1,а представлена пластина постоянной толщины h , нагруженная силами,
симметрично расположенными относительно оси Z . Деформации, перемещения и
напряжения – также симметричны относительно оси Z . Прогиб пластины обозначается
через w , а угол поворота нормали – через ϑ (рис.7.1,б). Напряженное состояние в пластине
– плоское (рис.7.1,в).




                                            Рис.7.1

      В сечениях пластины (рис.7.1,г) действуют внутренние силовые        факторы:   Qr –
поперечная сила [Н/м]; M r M t - изгибающие моменты [Н⋅м/м]. Внутренние силовые
факторы являются величинами погонными, т.е. отнесенными к единице ширины срединной
поверхности. Поперечную силу Q определяют из уравнения равновесия отсеченной
цилиндрической поверхностью центральной части пластины (рис.7.1,а), а интенсивность
изгибающих моментов в радиальном и окружном сечениях по формулам:
                                             dϑ   ϑ
                                     M r = D    +v ,
                                             dr   r
                                                                                  (7.1)


                                           133