Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 134 стр.

                                                      ϑ    dϑ 
                                               M t = D + v    ,
                                                      r    dr 
             Eh 3
где D =                – жесткость пластины на изгиб.
          12(1 − v 2 )
Радиальные σ r и окружные σ t напряжения, показанные на рис.7.1,в, по толщине пластины
меняются по линейному закону:
                                           12M
                                    σr = 3 r z ,
                                             h                                    (7.2)
                                           12M t
                                    σt = 3 z .
                                             h
Наибольшие напряжения имеют место при z = ± h / 2 . Поэтому
                                               6M
                                   σ r max = ± 2 r ,
                                                h
                                                                                  (7 3)
                                                      6M
                                          σ t max   =± 2t .
                                                       h
Знаки (+) и (-) соответствуют растянутой и сжатой стороне пластины.
       Таким образом, для расчета пластины на прочность и жесткость необходимо знать
зависимость угла поворота нормали пластины ϑ от радиуса r . Угол поворота нормали
определяется путем интегрирования разрешающего уравнения.
       Общий интеграл этого уравнения имеет вид
                                                  1
                                     ϑ = c r + c − ∫ [r ∫ Qdr ]dr ,             (7.4)
                                          1     2r
где с1 и с2- постоянные интегрирования.
       Постоянные интегрирования c1 и c 2 определяются из граничных условий, которые
записываются для угла поворота нормали или радиальных моментов, по одному на каждом
краю.
       На рис.7.2 приведены примеры определения поперечных сил Q (положительные
направления Q показаны на рис.7.1,а,г) и граничных условий.
       После того как функция ϑ (7.4) найдена, из выражений (7.1) определяются
изгибающие моменты M r и M t , а прогиб w определяется из выражения
                                                     dw
                                              ϑ=−         .                     (7.5)
                                                     dr
Знак определяется направлением отсчета w .
Уравнение равновесия
                                                       F
                                     ∑ Fz = 0 → Q = 2πr .
       Граничные условия: r = 0 , ϑ = 0 ; r = R , ϑ = 0 .
       Уравнение равновесия
                                                                    r
                          ∑ Fz = 0 , + Q2πr + P 2πr2 = 0 → Q = − r2 P .
       Граничные условия : r = r1 , M r = 0 ;
                                r = r2 , M r = M .
      Уравнение равновесия
                                                 (r22 − r 2 )
      ∑ Fz = 0 , + Q2πr + ρπ (r − r ) = 0 → Q = − 2r ρ .
                                     2
                                      2    2



      Граничные условия:       r = r1 , ϑ = 0 ;


                                                    134