Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

136
∑
= 0
z
F , 0)(2
22
=−−⋅ arprQ
ππ
,
r
arp
Q
2
)(
22
−
=
Подставив (в) в (б), получаем
drdr
r
apr
r
Drr
c
rc
r
a
r
a
∫∫
−
−+=
2
)(1
22
2
1
ϑ
.
Вычислив интеграл, определяем функцию
ϑ
и ее производную
−
−
−+=
a
r
ra
r
ar
Dr
c
rc ln4
16
2
44
2
1
ρ
ϑ
,
−−+−−=
a
r
aa
r
a
r
D
r
c
c
dr
d
ln443
16
22
2
4
2
2
2
1
ρϑ
.
Постоянные
1
c
и
2
c
находим из граничных условий:
a
r
=
, mM
t
=
;
abr 3
=
=
, 0
=
r
M ;
D
pa
v
a
c
vc
2
2
2
1
)1()1( =−−+ ,
0)1(ln44)1()3(
16
)1()1(
22
2
4
2
2
2
1
=
+−−−++−−−+ v
a
b
aav
b
a
vb
D
p
v
b
c
vc
D
pa
a
с
с
2
2
2
1
7,03,1 =− ,
0499,43,0
16
72,18
16
077,03,1
22
2
2
1
=⋅⋅−⋅−−
D
pa
D
pa
a
c
c ,
D
pa
C
2
1
985,0= ;
D
pa
c
4
2
401,0= .
++=
a
r
r
a
D
pa
r
ln25,0463,0985,0
2
22
ϑ
,
+−−=
a
r
a
r
r
a
D
pa
dr
d
ln25,01875,0463,0235,1
2
2
2
22
ϑ
.
Уравнения изгибающих моментов (а) после подстановки выражений (г) получают вид
+−−=
a
r
a
r
r
a
parM
r
ln325,0206,0324,053,1)(
2
2
2
2
2
,
2
)( paaM
r
= ; 0)3(
=
aM
r
;
2
max
075,1)3,1( paaM
r
=
.
+−+=
a
r
a
r
r
a
parM
t
ln325,0118,0324,035,1)(
2
2
2
2
2
,
2
56,1)( paaM
t
=
2
679,0)3( paaM
r
= ;
2
43,1)3,1( paaM
t
= ;
2
18,1)2( paaM
t
=
По этим результатам построены эпюры изгибающих моментов
r
M и
t
M (рис. 7.3,а).
Эквивалентное напряжение по теории начала текучести Мора
(
В
)
(
Г
)
                               ∑F    z   = 0,      Q ⋅ 2πr − pπ (r 2 − a 2 ) = 0 ,
                                                      p(r 2 − a 2 )
                                                Q=                                                     ( В)
                                                          2r
Подставив (в) в (б), получаем
                                       1  ( pr 2 − a 2 ) 
                                         r       r
                                  c2
                                   r Dr ∫a  ∫a
                               ϑ = c1r +
                                     −        r             dr dr .
                                                    2r          
Вычислив интеграл, определяем функцию ϑ и ее производную
                                  c2   ρ  r 4 − a4              r
                         ϑ = c1r + −               − 4a 2 r ln  ,
                                  r 16 D  r                     a
                     dϑ        c      ρ  2 a4                      r
                         = c1 − 22 −       3r + 2 − 4a 2 − 4a 2 ln  .
                      dr       r     16 D       r                  a
Постоянные c1 и c2 находим из граничных условий:
                                          r = a,            Mt = m ;
                                     r = b = 3a ,              Mr = 0;
                                                     c2             pa 2
                                        c1 (1 + v) − 2 (1 − v) =         ,
                                                    a                D
                       c               p  2              a4                          b       
           c1 (1 + v) − 22 (1 − v) −       b  (3 + v ) +   2
                                                              (1 − v) − 4a 2 − 4a 2 ln (1 + v) = 0
                       b             16 D                b                           a       
                                                      с2    pa 2
                                            1,3с1 − 0,7  =        ,
                                                      a2     D
                                       c2 pa 2              pa 2
                         1,3c1 − 0,077 2 −        ⋅18,72 −         ⋅ 0,3 ⋅ 4,499 = 0 ,
                                       a 16 D              16 D
                                       pa 2                pa 4
                           C1 = 0,985        ; c2 = 0,401        .
                                        D                   D
                                ϑ pa 2                   a2                r
                                   =      0,985 + 0,463 2 + 0,25 ln  ,
                                r     D                  r                 a
                                                                                                      (Г)
                     dϑ pa 2                      a2         r2         r
                        =        1,235 − 0,463 2 − 0,1875 2 + 0,25 ln  .
                     dr      D                    r          a          a
       Уравнения изгибающих моментов (а) после подстановки выражений (г) получают вид
                                                     a2         r2          r
                        M r (r ) = pa 2 1,53 − 0,324 2 − 0,206 2 + 0,325 ln  ,
                                                     r          a           a
                                         M r (a ) = pa 2 ;            M r (3a ) = 0 ;
                                                M r max (1,3a) = 1,075 pa 2 .
                                                      a2          r2          r
                                           
                            M t (r ) = pa 1,35 + 0,324 2 − 0,118 2 + 0,325 ln  ,
                                           2

                                                      r           a           a
                                   M t (a) = 1,56 pa 2
                                                         M r (3a) = 0,679 pa ;
                                                                            2


                                    M t (1,3a) = 1,43 pa 2 ; M t (2a) = 1,18 pa 2
       По этим результатам построены эпюры изгибающих моментов M r и M t (рис. 7.3,а).
       Эквивалентное напряжение по теории начала текучести Мора




                                                        136

Страницы