Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 137 стр.

                                                                                 σ yt
                                           σ eq = σ 1 − k yσ 3 ,        ky =          = 1.
                                                                                 σ yc
Напряженное состояние в опасной точке А (рис.7.3,в):
              6M r   6 pa 2                                       6M t 6 ⋅1,5 pa 2
          σr = 2 =         2
                             = 2400 p ;                     σt = 2 =           2
                                                                                   = 3744 p .
               h     a                                            h    a 
                                                                       
                     20                                                20 
Главные напряжения:
                             σ 1 = 3744 p ; σ 2 = 2400 p ; σ 3 = 0 .
Наибольшее эквивалентное напряжение:
                                    σ eq ,max = σ eq , A = 3744 p .
Прогиб пластины при r = a :
                                                 a                          3a
                                       w = − ∫ ϑ dr или             w = ∫ ϑ dr ,
                                                3a                          a
                                   
                                  3a
                                            c      p r −a      4   4
                                                                             r 
                            w = ∫ c1r + 2 −                   − 4a 2 r ln  dr =
                                 a 
                                             r 16 D  r                      a 
                              r2                  p  r4                     r2 r
                           = c1     + c 2 ln r −        − a 4 ln r − 4a 2     ln +
                              2                  16 D  4                    2 a
                                                r 2  3a    9a 2 − a 2        3a
                                       + 4a 2        = c1            + c2 ln −
                                                 4a            2              a
                          p  81a 4 − a 4          3a                 3a        9a 2 − a 2 
                    −                   − a 4 ln    − 4a 4 ⋅ 4,5 ln    + 4a 2             ;
                        16 D      4                a                  a            4       
                     pa 2                pa 4          pa 4                                       pa 4
           w = 0,985      ⋅ 4a + 0,401
                              2
                                              ⋅1,098 −      (1,25 − 0,068 − 1,23 + 0,5) = 3,93 .
                      D                   D              D                                         D
                                                                 4
                                                            pa
                                              w(a) = 3,93          .
                                                             D
       Пример 7.2. Для пластины рис.7.4,а построить эпюры изгибающих моментов,
определить наибольшее эквивалентное напряжение по теории начала текучести Мора, найти
прогиб при r = a. Принять: b = 3a; d = 5a; h = (1/10)a; ky = 1; v = 0,3. Вес жесткого центра
не учитывать.
       Решение. Интенсивность изгибающих моментов в радиальном и окружном сечениях:
                                    dϑ        ϑ                        ϑ         dϑ 
                         M ri = Di  i + v i  ;            M ti = Di  i + v i  ,
                                    dr        r                        r         dr 
где ϑ - угол поворота нормали, определяемый выражением
                                                c      1                 
                                                 r Di r ∫r  ∫r
                                   ϑi = c1i r + 2i −          r   Q i dr  dr ,
                                                                          
здесь i - номер участка пластины.
Разделим пластину на два участка: участок I ( a ≤ r ≤ b ) и участок II ( b ≤ r ≤ d ).
Для I участка
                                         c
                             ϑI = c1I r + 2 I −
                                          r
                                                  1
                                                 DI r ∫ ∫
                                                       r  Q [I dr  dr  ;]   D I  =
                                                                                      Eh 3
                                                                                   12(1 − v 2 )
                                                                                                .




                                                           137