Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 162 стр.

      Для диска постоянной толщины из уравнений (8.1...8.3) после их преобразований и
интегрирования получаем следующие формулы для напряжений:
                                       B 1 + 3ν
                          σt = A +         −        ρω 2 r 2 + E[F (r ) − α∆t (r )],             (8.4)
                                      r 2      8
                                       B 3 +ν                                                    (8.5)
                          σr = A−          −       ρω 2 r 2 − EF (r ),
                                      r2       8
                                    1 r                                                          (8.6)
                          F (r ) =      ∫ α∆t (η )ηdη ,      η1 ≤ η ≤ r ,
                                   r 2 r1
где r1 – внутренний радиус диска; ∆t (r ) – функция температуры диска по радиусу.
Температура диска предполагается постоянной по толщине. В равномерно нагретом по
радиусу диске температурные напряжения отсутствуют [14].
                          Радиальное перемещение определяется выражением:
                     r              B (1 + ν ) 1 − ν 2           
                u =  A(1 − ν ) +              −         ρω 2 r 2  + r [(1 + ν )F (r ) − α∆t ]. (8.7)
                     E                 r 2         8            
     Постоянные A и В определяются из граничных условий в зависимости от формы диска
и способа его нагружения. Граничные условия на контуре диска могут быть заданы в
перемещениях или силах. На рис.8.2 показаны различные варианты граничных условий,
которые встречаются наиболее часто. На наружном контуре диска при r = r2 σr =σr2 или
σr=0 (рис. 8.2, а). Граничные условия на внутреннем контуре радиуса r=r1 диска зависят от
условий его закрепления.




                                                  Рис.8.2

     Если диск свободно посажен на вал или центральное отверстие свободно, то σr1=0.
Если диск посажен на вал с диаметральным натягом ∆ и этот натяг достаточен, чтобы при
вращении он не исчезал, то граничным условием является условие совместности
                                                 1
деформаций диска и вала (рис.8.2,в) u-ub = ∆ , где u и ub – радиальные перемещения
                                                 2
диска и вала под действием всех факторов (посадки, температуры, центробежных сил), часто
принимают ub = 0. Иногда диски выполняют без центрального отверстия (рис.8.2,6). В этом
случае на некотором малом радиусе
                               r1 = (0,01...0,05)r2,   σr1=σt1.

                                         8.2. Примеры расчетов

     Пример 8.1. Стержень заданных размеров постоянного поперечного сечения движется
под действием силы F с ускорением α (рис.8.3,а). Установить законы изменения по длине
стержня внутренних сил, напряжений и относительных перемещений и построить эпюры
напряжений и перемещений.
      Решение. В соответствии с принципом Даламбера рассмотрим неподвижный
стержень, нагруженный распределенной нагрузкой интенсивности ne (рис 8.3, а). Начало
координат поместим на левом торце. Интенсивность инерционной нагрузки равна
                                    ne=ρAa,                                 (a)




                                                 162