Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 164 стр.

                                                                2
                                                          z       ,
                                          A ( z ) = A0 1 + 
                                                          l
где А0 - площадь верхнего сечения. После интегрирования уравнения (б, пример 8.1)
получаем
                                                                          3
                                                     1                z
                                         N = C − ρgA0l 1 +  .
                                                     3           l
                                      1
      Так как при z=O N=O,то C= ρgA0 l. Тогда окончательно имеем
                                      3
                                                                      3 
                                           1                    z  
                                     N =  ρgA0 l  1 − 1 +  ,
                                           3             l   
                                                                         
                                                                    3         (a)
                                                               z           
                                                      1 − 1 + 
                                               ρgl             l           
                                         σ =        ⋅                 . 
                                                3                 2
                                                             z             
                                                         1 +               
                                                          l                
      При определении перемещений начало координат поместим в неподвижном основании.
Обозначим расстояние от текущего сечения до основания через x, тогда z + x = l . Заменяя
переменную в выражении для напряжений (а), получим
                                                ρg l 3 − (2l − x )3
                                          σ=          ⋅                    .
                                                 3         (2l − x )2
Перемещение текущего сечения составляет
                              ρg x l 3 − ( 2l − η ) 3          ρg  l 2 x           2lx − x 2 
                     w( x ) =     ∫                     dη =                       −              ,
                              3 E 0 ( 2l − η ) 2               3 E  2( 2l − x )        2      
                                                                                                
где 0 ≤ η ≤ x .




                                                Рис. 8.4

      На рис. 8.4,б показаны эпюры сил, напряжений и перемещений. Заметим, что при l =
6м, ρ = 2,78⋅103 кг / м3 (алюминиевый сплав), d = 0,1 м максимальное напряжение
                                                7
                                     σ max = ρgl = 90 Кпа,
                                               12
а максимальное перемещение
                                           1
                                 w max =      ρ g l 2 = 44 ⋅ 10 − 6 м.
                                          3E
      Пример 8.3. Определить максимальные напряжения в стержне длиной l постоянного
поперечного сечения, вращающемся с постоянной угловой скоростью ω (рис. 8.5, а).
      Решение. Схема нагружения стержня показана на рис. 8.5. Интенсивность инерционной
нагрузки на расстоянии z от оси вращения
                                                ne(z)=ρAω2z.                         (a)




                                                164