Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 163 стр.

                                            Рис. 8.3

     где ρ - плотность материала стержня; А - площадь поперечного сечения стержня; а -
ускорение.
     Выделим двумя поперечными сечениями, отстоящими на расстоянии z от начала
координат элемент длиной dz и рассмотрим его равновесие (рис. 8.3, в). Проектируя все силы
на ось z , запишем:
                                   ∑Fz=N + dN + ne dz – N=0,
где N – нормальная сила.
     Подставив ne в уравнение (а), получим дифференциальное уравнение
                                            dN
                                                = − ρAα ,
                                             dz
     интеграл которого равен
                                            N = с - pAaz.
     Постоянную интегрирования С определяем из граничных условий:
                                    при z = О, N - 0 => С = 0 ,
                                                                Fz
                                   при z= l , N = -F => a =        .
                                                                ρl
     Следовательно,
                                                          Fz
                                         N = -ρAaz = −        ,
                                                           l
                                                N
                                           σ=       = − ρaz .
                                                A
     Отметим, что значение напряжений не зависит от размеров площади поперечного
сечения.
     Рассмотрим перемещения, связанные с деформациями. Левый торец примем за
неподвижный. Перемещение wz сечения z равно удлинению части стержня длиной z
                                    z             z ρα           ραz 2
                             w z = ∫ ε (η )dη = − ∫     ηdη = −        .
                                    0             0 E              2E
     Эпюры напряжений показаны на рис. 8.3.
     Пример 8.2. Построить эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений,
возникающих в конической колонне под действием собственного веса. Плотность материала
колонны - ρ; размеры показаны на рис. 8.4,а.
     Решение. Поместим начало координат в верхнем сечении, направив ось z вниз. При
таком выборе системы отсчета нормальная сила определяется из решения
дифференциального уравнения (б, пример 8.1), в котором в отличие от примера 8.1, площадь
поперечного сечения является функцией z, а ускорение а = g .Диаметр колонны в текущем
сечении
                                                       z
                                        d ( z ) = d 1 +  ,
                                                       l




                                            163