Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

165
Рассмотрев равновесие элемента стержня длиной dz (см. пример 8.1), получаем
dN=-
ρ
A
ω
2zdz. (б)
На свободном торце стержня, при
z = l , нормальная сила отсутствует. Используя это
условие, получаем после интегрирования уравнения (б)
N=-
ρ
A
ω
2( l 2 -z2}.
Максимальные напряжения действуют в сечении z = 0
22
2
1
max
l
ρωσ
=
или
.
2
1
2
max
V
ρσ
=
Здесь V =
ω
l – окружная скорость свободного торца. На рис. 8.5,б показаны эпюры
интенсивности инерционной нагрузки
ne и нормальной силы N.
Рис. 8.5 Рис. 8.6
Пример 8.4. Стержень длиной l с сосредоточенной массой m на конце вращается с
постоянной угловой скоростью
ω
(рис.8.6). Установить закон изменения площади
поперечного сечения стержня, при котором он будет равнопрочным.
Решение. Условие равнопрочности стержня (рис.8.6) имеет вид:
)(zA
N
=
σ
= const.
Следовательно,
N=cA(z),
а
dN=cdA(z).
Подставляя это равенство в (б, пример 8.3), получим следующее дифференциальное
уравнение
.
2
zdz
A
dA
c
ρω
−=
Решение этого уравнения имеет вид
).
2
2
2
exp(
z
c
DA ⋅−=
ρω
Постоянную D определяем из условия, что при z = l , А = А0 , тогда
D= A0 exp
c2
22
l
ρω
.
Следовательно,
(
)
.
22
2
2
exp
0
−=
z
c
AA l
ρω
Поскольку нормальная сила на торце
N=m
ω
2 l , то постоянная c (напряжение в
стержне) равна:
0
2
A
m
c
l
ω
= . 
     Рассмотрев равновесие элемента стержня длиной dz (см. пример 8.1), получаем
                                      dN=-ρAω2zdz.                                  (б)
     На свободном торце стержня, при z = l , нормальная сила отсутствует. Используя это
условие, получаем после интегрирования уравнения (б)
                                      N=-ρAω2( l 2 -z2}.
     Максимальные напряжения действуют в сечении z = 0
                                     1                   1
                             σ max = ρω 2 l 2 или σ max = ρV 2 .
                                     2                   2
     Здесь V = ω l – окружная скорость свободного торца. На рис. 8.5,б показаны эпюры
интенсивности инерционной нагрузки ne и нормальной силы N.




                   Рис. 8.5                              Рис. 8.6

     Пример 8.4. Стержень длиной l с сосредоточенной массой m на конце вращается с
постоянной угловой скоростью ω (рис.8.6). Установить закон изменения площади
поперечного сечения стержня, при котором он будет равнопрочным.
     Решение. Условие равнопрочности стержня (рис.8.6) имеет вид:
                                              N
                                       σ=          = const.
                                            A( z )
     Следовательно,
                                           N=cA(z),
                                         а dN=cdA(z).
     Подставляя это равенство в (б, пример 8.3), получим следующее дифференциальное
уравнение
                                         dA
                                       c     = − ρω 2 zdz.
                                          A
     Решение этого уравнения имеет вид
                                                    ρω 2 2
                                    A = D exp(−           ⋅ z ).
                                                     2c
     Постоянную D определяем из условия, что при z = l , А = А0 , тогда
                                                  ρω 2 l 2 
                                    D= A0 exp               .
                                                  2c 
                                                            
     Следовательно,

                                  A = A0 exp    (
                                              ρω 2 2
                                              2c
                                                        )
                                                       l − z 2 .
                                                                 
                                                                 
     Поскольку нормальная сила на торце N=mω2 l , то постоянная c (напряжение в
стержне) равна:
                                               mω 2 l
                                          c=            .
                                                   A0




                                          165

Страницы