Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 167 стр.

                                     3 +ν             1 + 3ν  r 
                                                                       2
                                  σt =      ρω 2 r22 1 −           2 ;
                                        8                  3 + ν  r2 
                                           3 +ν             r2 
                                   σr =          ρω 2 r22 1 − 2 ;
                                             8              r2 
                            r (3 + ν )(1 − ν )    2 2       1 + 3ν  r 2 
                        u=                     ρω r2 1 −              + α∆tr.
                            E        8                       3 + ν  r22 
     Из последнего равенства видно, что радиальное перемещение в равномерно нагретом
диске определяется двумя слагаемыми. Первое слагаемое отражает зависимость
перемещения от частоты вращения, упругих постоянных, плотности материала и размеров
диска, второе – только от изменения температуры. Выше отмечалось, что при равномерном
нагреве температурные напряжения в диске не возникают.
     На рис. 8.8,б,в показаны эпюры безразмерных напряжений σ r ,σ t и безразмерного
радиального перемещения         u , возникающего в диске только от вращения (без учета
нагрева). Принято
                                                      σ
                                              σ =             ,
                                                    ρω 2 ρ 22
                                             uE
                                              u=     .
                                            ρω 2 r23
     Как следует из эпюр, максимальные напряжения возникают в центре диска
                               σt max=σr max=0.405ρω2 r22 =0.405ρV2.
     Здесь V=ωr2 – линейная скорость точек обода. Из последнего равенства можно
определить допустимую скорость для диска Vadm:
                                                        σ adm
                                          V         =             ,
                                              adm       0,405 ρ
где σadm – допускаемое напряжение.
     В рассмотренном примере σt max=σr max=50 МПа при ω = πn/ 30 = 628с-1.
     Максимальное радиальное перемещение umax = 2,2 • 10 -5 м.
     Пример 8.7. При сборке диск постоянной толщины посажен на вал с радиальным
натягом ∆. Определить освобождающее вал число оборотов диска (рис.8.9,а). При расчетах
принять r1 = 0,03м; r2 = 0,15м; ∆ = 0,004r1 ; ρ = 7,8. 10 -3кг / м3; ν = 0,24; Е = 2,1 ⋅ l O5 MGa..
Решение. При освобождающей частоте вращения ω 0 контактное давление между валом и
диском становится равным нулю и задача сводится к решению диска со свободной
внутренней и наружной поверхностями.
     Поэтому постоянные А и В определяются из следующих граничных условий: при r=r1,
σr=0 и при r = r2 σr = 0. Из уравнения (8.5) получаем
                                           B 3 +ν                   
                                      A− 2 −          ρω 02 r12 = 0,
                                          r1      8                 
                                           B 3 +ν                   
                                      A− 2 −          ρω 02 r22 = 0.
                                          r2      8                 
     Обозначив    ρω 02 r12 = a и решив систему, устанавливаем
                                    3 + ν r22 + r12                   3 +ν 2
                                  A=     a          ;        B=           ar2 .
                                      8      r12                        8
     Формулы (8.4), (8.5) и (8.7) принимают вид




                                                167