Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 168 стр.

                                     3 +ν  r 2 r 2 1 + 3ν r 2 
                              σt =     a 1 + 22 + 22 −             ⋅ ,
                                       8   r1       r       3 + ν r12 
                                    3 + ν  r22 r22 r 2 
                             σr =            a 1 + 2 − 2 − 2 ,
                                       8        r1 r            r1 
                       r 3 +ν              r22              r12 1 − ν 2 r 2 
                     u= ⋅     (1 − ν ) ⋅ 1 + 2  + (1 + ν ) 2 −         ⋅  a.
                       E 8                r1               r      3 + ν r12 




                                                Рис.8.9

     Введем безразмерные напряжение σ = σ/a и радиальное перемещение u = uE /( ar1 ) ,
эпюры которых показаны на рис. 8,9,б,в.
     Искомую частоту вращения ω 0 найдем, приравняв радиальное перемещение при r=r1
заданному значению, т.е.
                                          2 2  2           
                               ∆ 3 + ν ρω0 r1  r2 1 − ν 
                                  =     ⋅     ⋅    +        ,
                               r      4   E     r 2 3 + ν 
                                1               1          
откуда следует, что ω 0 =1200с-1 (n=11500 об/мин).
      Пример 8.8. Вращающийся диск с отверстием неравномерно нагрет по радиусу (рис.
8.10). На наружном контуре действует растягивающая нагрузка интенсивности
qe = ρω 2 r22 β . Установить закон изменения окружных и радиальных напряжении, если
r2/r1=3; β=0,25; ∆t (r ) = ∆t 2 (r 2 − r12 )/ (r22 − r12 ); ν=0,625; ρ, ω, E, r1 и α ∆t2 – заданы.
     Здесь r1 и r2 - радиус внутреннего и наружного контуров диска; ∆t2 – изменение
температуры на наружном контуре.
      Решение. Так как диск неравномерно нагрет, то найдем функцию F(r):
                                                                                     (r 2 − r12 ) 2
                     F (r ) =
                                1
                                    ⋅       (
                                       α∆t 2 r 2 2
                              r 2 r22 − r12 r1
                                                      )
                                                    ∫ η − r1 ηdη =
                                                                  (
                                                                          α∆t 2
                                                                           )
                                                                       4 r22 − r12
                                                                                   ⋅
                                                                                          r2
                                                                                                    .

     Обозначим значение функции F(r) на наружном контуре через F2, а на внутреннем –
через F1,:

                                         F1 = 0;              (
                                                            F2 =
                                                                 4r22
                                                                       )
                                                                 α∆t 2 2 2
                                                                        r2 − r1 .

Граничные условия:            при r = r1, σr = 0; при r = r2, σr = qe .
Тогда
                                                  B 3 +ν
                                          A−          −       ρω 2 r12 = 0,
                                                 r12       8




                                                  168