Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 166 стр.

                                    ρA l  z 2  
     Поэтому            A = A0 exp  0 1 −     .
                                    2m  l 
                                             2
      Пример 8.5. Определить напряжения и радиальные перемещения, возникающие в
тонкостенном кольце при его вращении в своей плоскости с угловой скоростью ω (рис.
8.7,а).
      Решение. Воспользуемся принципом Даламбера. Остановив кольцо и нагрузив его
силами инерции qe = ρАω2R, приходим к расчетной схеме замкнутого кругового контура,
нагруженного равномерно распределенной нагрузкой (рис. 8.7,а).
      Вследствие полной симметрии во всех сечениях кольца напряженное и
деформированное состояния, а также радиальные перемещения u всех точек одинаковы.
Поэтому в поперечном сечении отлична от нуля только нормальная сила N.




                                                    Б
                         А
                                        Рис.8.7

     Разрезав кольцо на две части (рис.8.7,б) и рассмотрев равновесие отсеченной части,
получим 2N = qe⋅2R. Следовательно,
                                          qe R
                                     σ=        = ρω2R2.
                                           A
     Определим радиальное перемещение u. Длина окружности кольца в
недеформированном состоянии 2πR, а в деформированном - 2π(R+и), следовательно,
окружная деформация ε = u/R. Зная напряжение, по закону Гука при одноосном
напряженном состоянии, устанавливаем:
                                      σR ρω 2 R 3
                                  u=     =        .
                                       E   E




                                        Рис. 8.8

       Пример 8.6. Построить эпюры напряжений в равномерно нагретом вращающемся
диске постоянной толщины без отверстия (рис. 8.8,а). Вычислить максимальные напряжения,
если ρ = 7,8 103 кг / м3; n = 6000 об/мин; r2 = 0,2 м; ν = 0,24.
     Решение. В сплошном диске из условия симметрии напряжения σr, и σt в центре равны,
к тому же они ограничены. Поэтому в формулах (8.4 и 8.5) постоянная В = 0 . Постоянную А
находим из граничного условия на наружном контуре:
                                                 3 +ν
     При               r=r2 σr=0 или A=                ρω 2 r22 .
                                                   8
Подставив значения постоянных в формулы (8.4), (8.5), (8.7), получаем




                                          166