Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

215
Глава 10. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
10.1. Метод начальных параметров
Все стандартные программы решения уравнений на ЭВМ рассчитаны на
интегрирование систем уравнений первого порядка. Поэтому дифференциальное уравнение
n-го порядка вначале должно быть сведено к системе n дифференциальных уравнении
первого порядка. Если такая система дифференцированных уравнений разрешена
относительно первых производных, то удобно использовать векторно-матричную форму
записи. Например, матрица-столбец из искомых функций имеет вид (10.1)
=
n
y
y
y
Y
M
2
1
.
Вектор, составленный из величин, характеризующих перемещения и внутренние силы
в данном сечении системы, будем называть вектором состояния (10.2). Так, векторы
=
M
Q
V
ϑ
Y ,
=
rM
Qr
W
Y
1
ϑ
для балки и симметрично нагруженной пластины являются векторами состояния (
W
V
, –
перемещения,
ϑ
– угол поворота нормали, Q – поперечная сила,
M
– изгибающий момент,
1
M – радиальный изгибающий момент).
Поскольку система дифференциальных уравнений разрешена относительно первых
производных от искомых функций, то эта система в матричной форме представляется в виде
gFYY
dx
d
+= ,
где
F - квадратная (n x n) матрица переменных коэффициентов; g – n – мерный вектор
правых частей.
Задачей Коши называется задача об определении решения обыкновенного
дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В матричной форме
задача Коши формулируется так (10.3):
Найти решения уравнения
),( xYfY
dx
d
= ,
удовлетворяющее условию
0
0
Y
xx
Y =
=
.
При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений
используют методы Эйлера с итерациями, трапеций, Рунге-Кутта или Кутта-Мерсона.
Рассмотрим теперь метод начальных параметров, при помощи которого краевая
задача сводится к задаче Коши.
Решение уравнения
gFYY
dx
d
+=
(10.1)
(10.2)
(10.3) 
    Глава 10. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ЭВМ
                        10.1. Метод начальных параметров

      Все стандартные программы решения уравнений на ЭВМ рассчитаны на
интегрирование систем уравнений первого порядка. Поэтому дифференциальное уравнение
n-го порядка вначале должно быть сведено к системе n дифференциальных уравнении
первого порядка. Если такая система          дифференцированных уравнений разрешена
относительно первых производных, то удобно использовать векторно-матричную форму
записи. Например, матрица-столбец из искомых функций имеет вид (10.1)
                                               y 
                                                y1 
                                           Y =  2 .                            (10.1)
                                                M 
                                                
                                                y n 
      Вектор, составленный из величин, характеризующих перемещения и внутренние силы
в данном сечении системы, будем называть вектором состояния (10.2). Так, векторы
                                        V              W 
                                        ϑ               ϑ 
                                   Y=      ,      Y =                        (10.2)
                                        Q               Qr 
                                                               
                                        M               M 1r 
для балки и симметрично нагруженной пластины являются векторами состояния ( V ,W –
перемещения, ϑ – угол поворота нормали, Q – поперечная сила, M – изгибающий момент,
M 1 – радиальный изгибающий момент).
          Поскольку система дифференциальных уравнений разрешена относительно первых
 производных от искомых функций, то эта система в матричной форме представляется в виде
                                         d
                                           Y = FY + g ,
                                        dx
где F - квадратная (n x n) матрица переменных коэффициентов; g – n – мерный вектор
правых частей.
       Задачей Коши называется задача об определении решения обыкновенного
дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. В матричной форме
задача Коши формулируется так (10.3):
       Найти решения уравнения
                                         d
                                           Y = f (Y , x) ,                    (10.3)
                                        dx

удовлетворяющее условию Y         =Y .
                            x=x     0
                                0
       При машинном интегрировании систем обыкновенных дифференциальных уравнений
используют методы Эйлера с итерациями, трапеций, Рунге-Кутта или Кутта-Мерсона.
       Рассмотрим теперь метод начальных параметров, при помощи которого краевая
задача сводится к задаче Коши.
       Решение уравнения
                                        d
                                           Y = FY + g
                                        dx




                                          215

Страницы