Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 217 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

217
=
1`
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
0
(
M
K
K
K
K
MMM
x
i
Y ,
то любая пара векторов
=
0
0
1
)
0
(
1
M
xY ;
=
0
1
0
)
0
(
2
M
xY ; …
=
1
0
0
)
0
(
M
x
n
Y
взаимно ортогональна, что обеспечивает их линейную независимость. Матрица решений
(10.8), удовлетворяющая начальным условиям (10.11), называется матрицей
фундаментальных функций для уравнения (10.6) или матрицей перехода.
После фактического построения частного решения неоднородного уравнения
)(
0
xY и
матрицы решений однородного уравнения
)(xY
i
коэффициенты Сi, входящие в общее
выражение (10.5), определяются из n граничных условий при х=х0 и х =
l . При
аналитическом решении краевых задач так и поступают.
При численном расчете, когда построение каждого из решений требует
интегрирования дифференциального уравнения, объем вычислений может быть существенно
сокращен. Поскольку начальные значения всех векторов
)(
0
xY
i
известны заранее из (10.11),
то m граничных условий при х=х0 представляют собой m линейных уравнений,
связывающих n постоянных Сi . Поэтому только n – m = r постоянных независимы.
Введем новую систему решений однородного дифференциального уравнения
)(xY
k
(k =1,2,…,r), где векторы
)(xY
k
являются линейными комбинациями векторов
фундаментальных решений
)(xY
i
, и новое частное решение неоднородного уравнения
)(
0
xY , подчинив их начальным условиям
0
)
0
(
0
;)
0
( ZxY
k
Zx
k
Y
=
= , (10.12)
причем, векторы Zk и Z0 выбираются линейно независимыми, а выражение
;
1
0
)
0
(
∑
=
+=
r
k
k
Z
k
CZxY
удовлетворяют граничным условиям при х = х0 при любых значениях постоянных Сk. Тогда
выражение
.
1
)()(
0
)(
∑
=
+=
r
k
x
k
Y
k
CxYxY (10.13)
Cодержащее только r=n–m решений однородного уравнения и постоянных Сk будет
удовлетворять условиям при х = х0 , а граничные условия при х =
l позволяют определить r
постоянных Сk.
Из векторов Yk составим прямоугольную матрицу n x r
=
rn
r
r
y
n
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Y
,
,2
,1
2,
2,2
2,1
1,
1,2
1,1
M
L
L
L
M
M
.
Теперь формула (10.13) запишется в виде
(10.11) 
                                              1 0 0 K 0
                                              0 1 0 K 0 
                                                         
                                    Y ( x ) = 0 0 1 K 0  ,                       (10.11)
                                     i 0                 
                                              M M M M 
                                              0 0 0 K`1
то любая пара векторов
                              1            0                0 
                              0            1                0 
                     Y (x ) =   ; Y (x ) =   ;    …Y (x ) =  
                      1 0     M 2 0        M        n 0     M
                                                             
                              0            0                1
взаимно ортогональна, что обеспечивает их линейную независимость. Матрица решений
(10.8),   удовлетворяющая     начальным      условиям  (10.11),  называется   матрицей
фундаментальных функций для уравнения (10.6) или матрицей перехода.
        После фактического построения частного решения неоднородного уравнения Y0 ( x) и
матрицы решений однородного уравнения Yi (x) коэффициенты Сi, входящие в общее
выражение (10.5), определяются из n граничных условий при х=х0 и х = l . При
аналитическом решении краевых задач так и поступают.
      При численном расчете, когда построение каждого из решений требует
интегрирования дифференциального уравнения, объем вычислений может быть существенно
сокращен. Поскольку начальные значения всех векторов Yi ( x0 ) известны заранее из (10.11),
то m граничных условий при х=х0 представляют собой m линейных уравнений,
связывающих n постоянных Сi . Поэтому только n – m = r постоянных независимы.
      Введем новую систему решений однородного дифференциального уравнения Yk ( x )
(k =1,2,…,r), где    векторы   Yk ( x )    являются     линейными   комбинациями    векторов
фундаментальных решений Yi (x) , и новое частное решение неоднородного уравнения
Y0 ( x) , подчинив их начальным условиям
                          Y (x ) = Z ;                     Y (x ) = Z ,          (10.12)
                           k 0       k                         0 0           0
причем, векторы Zk и Z0 выбираются линейно независимыми, а выражение
                                                       r
                                 Y (x ) = Z + ∑ C Z ;
                                     0       0                  k k
                                                     k =1
удовлетворяют граничным условиям при х = х0 при любых значениях постоянных Сk. Тогда
выражение
                                                              r
                                   Y ( x) = Y ( x) + ∑ C Y ( x).               (10.13)
                                             0                      k k
                                                         k =1
      Cодержащее только r=n–m решений однородного уравнения и постоянных Сk будет
удовлетворять условиям при х = х0 , а граничные условия при х = l позволяют определить r
постоянных Сk.
      Из векторов Yk составим прямоугольную матрицу n x r
                                              y1,1 y1, 2 L y1,r 
                                             y y                        
                                                 2 ,1 2 , 2 L y 2 , r 
                                         Y=                                .
                                              M M                M 
                                                                        
                                              y n ,1 y y , 2 L y n ,r 
Теперь формула (10.13) запишется в виде


                                              217

Страницы