Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 219 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

219
Глава 11. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
11.1. Статистически определимые задачи
Пример 11.1. Стальной стержень круглого поперечного сечения переменной
жесткости нагружен так как показано на рис.2.2,а. Построить эпюры внутренних крутящих
моментов Т, максимальных касательных напряжений
max
τ
, относительных углов
закручивания
ϑ
и углов поворота сечений
ϕ
по длине стержня. Дано: 2=
M
кНм; 10
=
e
t
кНм/м;
4
108⋅=G МПа; 400=l мм;
50
1
=
d
мм;
90
2
=
d
мм.
Решение. Задача статически определима. Нумерация участков указана на рис.11.1,а.
Начало координат находится на левом конце стержня. Опорную реакцию находим из
уравнения равновесия стержня
∑
= 0
x
M , MtMMtM
ecce
−
=
→
=
+
−
ll 0.
Внутренние крутящие моменты находим по методу сечений из уравнения равновесия
отсеченных частей стержня
Участок 1 (
l
≤
≤ z0 )
M
T
−
=
.
Участок 2 (
ll 2
≤
≤ z ) MztT
e
−
−
= )( l ; MT
z
−=
=l
; MtT
ez
−=
=
l
l2
.
Участок 3 (
ll 32
≤
≤ z ) )2( ll
−
+
−
=
e
tMT .
Эпюра Т показана на рис.11.1.
Рис.11.1
Вычисляем геометрические характеристики сечений
4
32
dI
p
π
=
;
3
32
dW
p
π
=
,
где
d - диаметр текущего сечения стержня.
Диаметр
d
по длине стержня изменяется по закону
≤≤
≤≤
≤≤
−−+−=
ll
ll
l
llll
32
2
0
,
),2/()2()(
,
2
2112
1
z
z
z
d
ddzdd
d
d
.
При определении углов поворота текущих сечений стержня воспользуемся
дифференциальным уравнением
dzd
ϑ
ϕ
=
,
где
p
GIT /=
ϑ
- крутка (относительный угол закручивания).
(11.1) 
                   Глава 11. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ ПРИ КРУЧЕНИИ
                          11.1. Статистически определимые задачи

      Пример 11.1. Стальной стержень круглого поперечного сечения переменной
жесткости нагружен так как показано на рис.2.2,а. Построить эпюры внутренних крутящих
моментов Т, максимальных касательных напряжений τ max , относительных углов
закручивания ϑ и углов поворота сечений ϕ по длине стержня. Дано: M = 2 кНм; t e = 10
кНм/м; G = 8⋅10 4 МПа; l = 400 мм; d1 = 50 мм; d 2 = 90 мм.
      Решение. Задача статически определима. Нумерация участков указана на рис.11.1,а.
Начало координат находится на левом конце стержня. Опорную реакцию находим из
уравнения равновесия стержня
                           ∑ M x = 0 , M − te l + M c = 0 → M c = te l − M .
      Внутренние крутящие моменты находим по методу сечений из уравнения равновесия
отсеченных частей стержня
      Участок 1 ( 0 ≤ z ≤ l )  T = −M .
      Участок 2 ( l ≤ z ≤ 2l ) T = t e ( z − l) − M ; T z =l = − M ; T z = 2 l = t e l − M .
     Участок 3 ( 2l ≤ z ≤ 3l )    T = − M + t e (2l − l) .
Эпюра Т показана на рис.11.1.




                                             Рис.11.1

      Вычисляем геометрические характеристики сечений
                                             π                 π
                                      Ip =       d4;    Wp =       d3 ,
                                                   32                  32
где d - диаметр текущего сечения стержня.
       Диаметр d по длине стержня изменяется по закону
                                                  d1 ,                     0≤ z≤l
                              
                          d = (d 2 − d1 ) z + (d1 2l − d 2 l) /( 2l − l), l ≤ z ≤ 2l .
                                                 d2 ,                    2l ≤ z ≤ 3l
                              
       При определении углов поворота текущих сечений стержня воспользуемся
дифференциальным уравнением
                                                        dϕ = ϑdz ,                      (11.1)
где ϑ = T / GI p - крутка (относительный угол закручивания).




                                                 219

Страницы