Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

216
должно быть подчинено n граничным условиям на границах интервала. Предположим, что m
условий сформулированы в начале )
0
( xx
=
и mn
r
−
=
в конце )( l=x интервала
интегрирования. Решение (10.4) можно записать в виде
∑
=
+=
n
i
x
i
Y
i
CxYxY
1
)()(
0
)(,
где
)(
0
xY - какое-либо частное решение неоднородного уравнения; )(xY
i
- линейно-
независимые решения однородного уравнения (матрица однородных решений, столбцами
которой являются линейно-независимые векторы, каждый из которых удовлетворяет
однородному уравнению (10.6)
FYY
dz
d
= .
Поскольку вектор
)(
x
Y
имеет n компонент, то формулу (10.5) можно представить в
виде
∑
=
+
=
in
y
i
y
i
y
n
i
C
n
y
y
y
n
y
y
y
,
,2
,1
1
1
0,
0,2
0,1
2
1
MM
M
.
Введем в рассмотрение матрицу решений однородного уравнения (10.6):
=
nn
y
n
y
n
y
n
y
y
y
n
y
y
y
x
i
Y
,
,2
,1
2,
2,2
2,1
1,
1,2
1,1
)(
M
L
L
L
MM
и вектор постоянных интегрирования
=
n
С
С
С
С
M
2
1
.
Тогда формулу (10.7) можно записать в виде
Cx
i
YxYxY )()(
0
)(
+
=
.
Вектор
)(
0
xY и матрицу )(xY
i
можно найти, решая задачу Коши.
Так как
)(
0
xY - любое частное решение неоднородного уравнения (10.4), то для него
можно задать любые начальные значения и, в частности, нулевые:
=
∗
0
0
0
)
0
(
0
M
xY .
Значение вектора частного решения системы (10.4) в любой точке определяется
численным интегрированием уравнения (10.4) при начальном условии (10.10). При выборе
начальных условий для матрицы
)(xY
i
, являющейся решением однородного уравнения
(10.6), необходимо обеспечить линейную независимость столбцов. Если принять, что
(столбцы – ортонормированные векторы)
(10 5)
(10.6)
(10.7)
(10.8)
(10.10) 
должно быть подчинено n граничным условиям на границах интервала. Предположим, что m
условий сформулированы в начале ( x = x ) и r = n − m в конце ( x = l) интервала
                                                       0
интегрирования. Решение (10.4) можно записать в виде
                                                                n
                                       Y ( x) = Y ( x) + ∑ C Y ( x) ,
                                                    0                i i         (10 5)
                                                              i =1
где Y0 ( x) - какое-либо частное решение неоднородного уравнения; Yi ( x) - линейно-
независимые решения однородного уравнения (матрица однородных решений, столбцами
которой являются линейно-независимые векторы, каждый из которых удовлетворяет
однородному уравнению (10.6)
                                                d
                                                   Y = FY .                        (10.6)
                                               dz
       Поскольку вектор Y ( x) имеет n компонент, то формулу (10.5) можно представить в
виде
                                     y1   y1,0                     y1, i 
                                    y                                    
                                                  y            n     y         (10.7)
                                     2  = 2,0 + ∑ C                     2, i .
                                     M            M               
                                                                     1 M      
                                                         i =1            
                                     y n   y n,0              y 
                                                                       n, i 
Введем в рассмотрение матрицу решений однородного уравнения (10.6):
                                                     y1,1 y1,2 L y1, n 
                                                                           
                                                     y 2,1 y 2,2 L y 2, n 
                                        Y ( x) =                                  (10.8)
                                          i              M     M        M 
                                                                           
                                                    y y L y                
                                                     n,1 n,2          n, n 
и вектор постоянных интегрирования
                                                      С 
                                                      С 1 
                                                С =  2.
                                                       M 
                                                       
                                                        С
                                                       n 
Тогда формулу (10.7) можно записать в виде
                                            Y ( x) = Y ( x) + Y ( x)C .
                                                         0         i
Вектор Y0 ( x ) и матрицу Yi ( x) можно найти, решая задачу Коши.
       Так как Y0 ( x) - любое частное решение неоднородного уравнения (10.4), то для него
можно задать любые начальные значения и, в частности, нулевые:
                                                   0
                                                   0
                                            ∗
                                          Y (x ) =   .                        (10.10)
                                           0 0     M
                                                    
                                                   0
       Значение вектора частного решения системы (10.4) в любой точке определяется
численным интегрированием уравнения (10.4) при начальном условии (10.10). При выборе
начальных условий для матрицы Yi (x) , являющейся решением однородного уравнения
(10.6), необходимо обеспечить линейную независимость столбцов. Если принять, что
(столбцы – ортонормированные векторы)



                                           216

Страницы