Руководство к решению задач по механике материалов и конструкций. Егодуров Г.С - 249 стр.

                         Глава 14. Расчет вращающихся дисков
                                 14.1. Основные зависимости

      Численные методы при упругом расчете вращающихся дисков (рис.14.1) на ЭВМ
используют прямое интегрирование системы дифференциальных уравнений равновесия и
совместности деформаций первого порядка [10]. Эти уравнения записываются относительно
радиального усилия T1 ( r ) и радиального перемещения u( r )
                              d u       1+ v  u  1− v2      1+ v
                                    = −       +        T1 +      α∆t ,
                             dr  r       r  r  Ehr           r
                                                                                   (14.1)
                              dT1 Eh  u  1 − v      Eh
                                  =    −       T1 −    α∆t − ρω 2 hr ,
                               dr   r r    r         r
где T1 = σ r h [Н/м]-интенсивность радиальных усилий; u / r -окружная деформация; α ⋅ ∆t -
температурная деформация; h -толщина диска; ρ -плотность материала; ω -угловая скорость
вращения; E -модуль упругости; v -коэффициент Пуассона; α -коэффициент линейного
расширения материала; ∆t (r ) -температура диска; σ r и σ t -радиальное и окружное
напряжения.
       Переменные T1 (r ) и u (r ) не претерпевают разрывов даже при скачкообразном
изменении параметров диска (толщины, модуля упругости, температуры). При решении
системы (14.1) будем пользоваться векторно-матричной символикой, которая позволяет
компактно выполнить необходимые преобразования и составить программу для ЭВМ.
Систему разрешающих дифференциальных уравнений первого порядка можно представить в
матричной форме:
                                          d
                                             {y} = [F ]{y}+ {g},                (14.2)
                                          dr
         {      }    T
где {Y } = u / r , T1 -вектор состояния, с помощью которого в сечении диска (одномерной
системы) определяются все неизвестные обобщенные кинематические {u / r} и силовые T1    {}
факторы, T -знак транспонирования;
        1+ v 1− v2 
       −            
[F ] =  r     Ehr  - матрица коэффициентов, стоящих перед исходными функциями u / r
        Eh     1− v
              −
        r       r 
и T1 ;
      1 + v 
            
{g} =  rEh α∆t −   ρω 2 - вектор свободных членов или вектор нагрузки диска. Сила T2 в
                      0
      −           rh 
       r 
окружном сечении и напряжения σ r , σ t определяются по формулам

                                               u      
                                  T2 = vT1 + Eh − α∆t ,
                                               r                                 (14.3)
                                        T        T
                                    σr = 1 , σt = 2 ,
                                         h        h




                                            249